6つの数P、P + K、P + 2K、P + 3K、P + 4K、P + 5Kがすべて素数であるという特性を持つ素数Pが存在するような最小の正の整数k

与えられた正の整数を考えてみましょう $n \ge 1$、および対応する正の整数 $K$、その素数 $P$ そのような存在 $P$、 $P + K$、 $P + 2K$、 $\ldots$、 $P + nK$すべて素数です。注意$K$素数階乗の整数倍でなければなりません $p_j\#$、ここで、インデックスはプライムインデックスを参照します（例： $p_1 = 2$、 $p_2 = 3$、など）および $p_j$ 最大の素数です $\le n$。したがって、可能な限り最小$K$ だろう $p_j\#$自体。これが最小の理由です$K$ あなたの例のために $n = 5 = p_3$ です $30$ 以来 $30 = p_3\# = 2(3)(5)$。

証明する $p_j\# \mid K$、最初の注意 $P = p_i$ いくつかのための $1 \le i \le j$、その後 $p_i \mid P + p_i(K)$、それで素数になることはできません、つまり $P \ge p_{j+1}$。次に、$p_i$、と $i \le j$、 どこ $p_i \nmid K$。次に$P$、 $P + K$、 $\ldots$、 $P + (p_i - 1)K$ すべてがモジュロで異なる剰余を持っています $p_i$ （もしあれば $2$ 同じだった、と言う $P + qK$ そして $P + rK$ と $r \gt q$、の違い $(r - q)K$ で割り切れる必要があります $p_i$ だが $0 \lt r - q \lt p_i$）。あるので$p_i$ からの可能な残り $0$ に $p_i - 1$ これらの中で $p_i$ 値、そのうちの1つは $0$。あるに違いない$\gt p_i$、素数にすることはできません。これは、元の仮定を示しています$p_i \nmid K$ 偽でなければなりません。

考慮すべき特別なケースは $n + 1$ プライムです、すなわち、それは $p_{j+1}$。もしそうなら、もし$p_{j+1} \nmid K$、 絶対必要です $P = p_{j+1}$ それ以外の場合は、 $P + iK$ にとって $1 \le i \le n$ の倍数である必要があります $p_{j + 1}$ そして $\gt p_{j+1}$、だからそれは素数になることはできません。

証明に関しては常に素数が存在します $P$ ここで、 $K = p_j\#$、 あなたが持っている $P + ik \; \forall \; 1 \le i \le n$素数であるため、これを証明するために私が知っている一般的な方法はありません。私はそのようなことを疑っていますが$P$ 常に存在し、今確実に知られている唯一のことは、 $K$ そして $P$ ポジティブなものは存在しますか $n$、次の段落で説明するように。

最大のものを見つけることに関して $n$ あるところ $K$、そのような最小のものを含む $K$、 どこ $P$、 $P + K$、 $\ldots$、 $P + nK$ すべて素数であり、そのような最大値はありません $n$。グリーンタオの定理の状態に注意してください

...素数のシーケンスには、任意の長さの等差数列が含まれています。