アーベル群の商-残差の有限性と位数の要素 $p$

Aug 18 2020

仮定します $A$ アーベル群であり、 $\pi$は素数のセットです。A$\pi$-数はからの素数の積です $\pi$

それぞれについてそれを仮定します $p \in \pi$$A_p = \{a \in A : \exists i\in\mathbb{N} \text{ s.t } a^{p^i} = 0\}$ 有限の指数を持っています。

また、 $A$ です $\pi$-削減; の重要なサブグループはありません$A$ です $\pi$-分割可能。つまり、$H \leq A$ 有る $h \in H$ そして $m$ A $\pi$-任意の番号 $x \in H$$x^m \neq h$

しましょう $j \in \mathbb{N}$$p \in \pi$ そして $m = p^jn$ A $\pi$-番号ここで $n$ 互いに素です $p$

  1. なぜですか $A/A^m$ 残差有限?

  2. どして $A^{p^j}/A^m$ 順序の要素がありません $p$

Infinite SolubleGroupsのコンテキストは次のとおりです。

回答

1 EricWofsey Aug 19 2020 at 05:05

$A/A^m$ 有限指数(具体的には、指数除算)のアーベル群です。 $m$)、および有限指数のすべてのアーベル群は巡回群の直和であり、特に残差有限です。たとえば、すべての要素の次数が1、2、または4である無限アーベル群での回答を参照してください。

すべての要素以来 $a\in A/A^m$ 満たす $a^m=1$、すべて $p^j$パワー $a^{p^j}$ 満たす $(a^{p^j})^n=1$。したがって、$a^{p^j}$ 分水界 $n$、そしてそうすることはできません $p$。あれは、$A^{p^j}/A^m$ 順序の要素はありません $p$