アルキメデス-機械的定理の方法-半球の重心
フィロマスが役立つことを願っています- 「方法論」に関するウィキペディアのエントリの以下の文の後ろにあるように、アルキメデスが微積分なしで半球の重心を計算する方法を探しています：
「このタイプの方法* [引数を活用する-ウィキペディアを参照]」を使用して放物線の任意のセクションの領域を見つけることができ、同様の引数を使用してxの任意の累乗の積分を見つけることができます。代数なしで複雑。アルキメデスは、彼が半球の重心を見つけるために使用したx3の積分、および他の作業では放物線の重心までしか行きませんでした。 " ..." palimpsestの他の提案 "Aシリーズ幾何学の提案の例は、同様の議論によって放物線で証明されています.1つの定理は、半球の重心の位置が極から球の中心までの5/8の距離にあるということです。この問題は注目に値します。三次積分を評価しているからです。」
https://en.wikipedia.org/wiki/The_Method_of_Mechanical_Theorems
Archimedes、Center of Gravity、およびFirst Law ofMechanicsの提案12への参照を見つけました。第2版TheLaw of the Lever Andre KT Assisお互いに、線は等差数列になります。」
アルキメデスがレバレッジ引数によって立方体の積分を使用して、半球と放物線の重心を決定する方法に興味がありますか？私は、アルキメデスが完全にアクセスできなかった微積分による証明を知っています-彼はその概念のいくつかを使用したようですが。アルキメデスの直感的でエレガントなレバレッジの方法には、多くの教訓的な利点がありますが、この部分は私を免れます。
数学のstackexchangeはPappusを参照していますが、アルキメデスを参照する脚注もありますが、説明はありません。
https://math.stackexchange.com/questions/387640/compute-the-centroid-of-a-semicircle-without-calculus
ルパート
回答
アルキメデスが半球の重心を取得したことを確認します。これは、計算なしで、アルキメデスが第2巻の提案8にある放物線セグメントの重心にアルキメデス法を使用した後のレバレッジ引数から続く立方体の積分に依存するウィキペディアの記事のレバレッジ引数を使用して行うことができます（アルキメデスの作品：ヒース、TLを参照してください。半径1の半球を取ります。したがって、半球の場合、半球の体積は2 / 3piです。ここでアルキメデスは、放物線の重心が3/4であることを証明します。これは、立方体の積分が1/4であることを示しています-ジオメトリとレバレッジ引数によって！（放物線セグメントの重心から開始し、そこから進みます）。レバレッジを使用すると、これはpi.x（1-x ^ 2）= pi（xx ^ 3）= pi（1 / 2-1 / 4）= pi / 4の積分のバランスを取ります。したがって、半球の重心が「x」の場合、x .2 / 3pi = pi / 4なので、x = 3/8 QEDはアルキメデスに敬意を表します！ユーレカ！！ウィキペディアはまさにこれです!!!