場合 $A$ ネーター環の場合、すべての分数イデアルは次の形式になります $x^{-1} \frak{a}$ いくつかの理想のために $\frak{a}$ の $A$

Aug 18 2020

【声明】もし $A$ ネーター環の場合、すべての分数イデアルは次の形式になります $x^{-1} \frak{a}$ いくつかの理想のために $\frak{a}$$A$$x \in A$


[未遂]

これは、アティヤ・マクドナルド可換環論、第9章、96ページ、分数イデアルにあります。

彼らは言う $A$ ネーター環の場合、すべての分数イデアルは次の形式になります $x^{-1} \frak{a}$ いくつかの理想のために $\frak{a}$$A$$x \in A$ したがって、すべての分数イデアルは有限生成されます。

「分数イデアルが有限生成される」ので大丈夫です。 $A$ ネーターはとても理想的です $\frak{a}$ 有限生成です。

しかし、上記のステートメントをどのように表示するのですか?

しましょう $M$分数イデアルである。次に、定義上、$\frac{b}{a} \in K:=\text{Frac}(A)$ そのような $\frac{a}{b} M \subseteq A $、 そう $M \subseteq \frac{b}{a}A$

次のステップは何ですか?

回答

3 Stahl Aug 18 2020 at 12:26

しましょう $\{m_i\}_{i\in I}$ 生む $M$ として $A$-モジュール。その後、$m_i A\subseteq M\subseteq\frac{b}{a}A,$ その結果 $m_i\in\frac{b}{a}A.$ したがって、それぞれについて $i,$ 私たちは書くかもしれません $$m_i = \frac{b_i}{a},$$$b_i\in A.$ これは、 \begin{align*} M &= \sum_{i\in I} m_i A\\ &=\sum_{i\in I}\frac{b_i}{a}A\\ & = \frac{1}{a}\sum_{i\in I}b_i A. \end{align*} でも今 $\sum_{i\in I}b_i A$ 単にの理想です $A$ によって生成されます $b_i,$ これで完了です。