場合 $g$ の継続的かつ増加する関数です $x$、 証明してください $g(X)$ 確率変数です。

Dec 18 2020

Grimmet Stirzakerの演習2.3.12Probability and Random processesは、次のことを求めています。皆さんが私の解決策を検証するのを手伝ってくれるなら、私は欲しいです。

しましょう $X$ 確率変数であり、 $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$継続的かつ厳密に増加します。それを示す$Y = g(X)$ 確率変数です。

私の解決策。

なので $g$単調増加関数であり、単射(1対1)です。つまり、$x_1 < x_2$、その後 $g(x_1) < g(x_2)$。したがって、$x_1 \ne x_2 \implies g(x_1) \ne g(x_2)$

どうやって推論するのかわからない、 $g$ 全射です(上に)。

場合 $g$ 全単射、逆関数 $g^{-1}$ 存在し、明確に定義されています。

したがって、セット

\begin{align*} &\{ \omega : g(X(\omega)) \le x \}\\ =&\{ \omega : (X(\omega) \le g^{-1}(x) \} \in \mathcal{F} \end{align*}

以来 $X$確率変数です。その結果、$g(X)$ 確率変数です。

回答

1 DannyPak-KeungChan Dec 18 2020 at 01:00

の連続性と厳密な単調性 $g$無関係です。必要なのは$g$ボレル関数です。どちらの条件も「$g$ 継続的です」、「$g$ 単調増加である」とは、 $g$ ボレル関数です。

仮定 $g$ボレル関数です。しましょう$A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$。それを観察する$g(X)^{-1}(A) = X^{-1}(g^{-1}(A))\in\mathcal{F}$ なぜなら $g^{-1}(A)$ボレル集合です。したがって、$g(X)$ です $\mathcal{F}/\mathcal{B}(\mathbb{R})$-測定可能、つまり確率変数。