場合 $p$ と奇妙な素数です $p ≡ 3(\mod 4)$、その後 $(p-1)! + p\mathbb{Z} = (-1)^{(p-1)/2} +p\mathbb{Z}$
真実かどうかを証明します。falseの場合は反例を挙げてください。場合$p$ と奇妙な素数です $p ≡ 3(\mod 4)$、その後 $$(p-1)! + p\mathbb{Z} = (-1)^{(p-1)/2} +p\mathbb{Z}.$$
証明。 $p ≡ 3(\mod 4)$ 意味する $4|p-3$。ウィルソンの定理は次のように述べています。pが素数の場合、$$(p-1)! + p\mathbb{Z} = -1 + p\mathbb{Z}$$ または同等に $$(p-1)! ≡ -1(\mod p).$$ 後者は意味します $$p|(p-1)!+1.$$
そこからどこに行くべきか、あるいはそれがそもそも正しいアプローチであるかどうかはわかりません。
回答
1 SiongThyeGoh
ウィルソンの定理から、 $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$、
したがって、それを証明するだけで十分です $$(-1)^{\frac{p-1}2}=-1$$
それを証明するのと同じです $\frac{p-1}2$ 奇数です
場合 $p = 4k+3$、その後 $$\frac{p-1}{2}=\frac{4k+2}{2}=2k+1$$ これは奇数です。