場合 $\widehat{M}$ 無料です $\widehat{R}$-ランクのモジュール $n$ その後 $M$ の生成セットがあります $n$ としての要素 $R$-モジュール。

Question

私の最後の質問を参照している場合$\widehat{M}$ 無料です $\widehat{R}$-モジュール、次に $M$ 無料です $R$-モジュール、 $R$ザリスキ環です。次の質問をしたいと思います。

しましょう $R$ ザリスキ環になる $I$-adicトポロジ、 $I \subset J(R)$。しましょう$M$ 有限に生成される $R$-そのようなモジュール $I$-adic完了 $\widehat{M}$ 無料です $\widehat{R}$-ランクのモジュール $n$。では、どうすればそれを示すことができますか$M$ の生成セットがあります $n$ としての要素 $R$-モジュール。

私は助けが必要です。

Answer 1

検討する $n$ の生成元 $\widehat M$、 $x_1,...,x_n$。

しましょう $y_1,...,y_n$ で彼らのイメージを示します $M/IM$。次に、$y_1,...,y_n$ 生む $M/IM$。

確かに、 $\widehat M\to M/IM$ 全射です（$M\to \widehat M\to M/IM$ 全射です）、したがって、 $z\in M/IM$、しましょう $w$ 先行詞であること、 $w= \sum_i \lambda_i x_i$ ことを意味します $z =\sum_i \mu_i y_i$、と $\mu_i$ の画像 $\lambda_i$ 下 $\widehat R\to R/I$。

しかし今から $I\subset J(R)$、中山の補題は、 $y_1,...,y_n$ 生む $M$ （ここでは、次の仮定を使用します $M$ 有限生成）