ブラックホールの近くの空間の曲率

Aug 16 2020

（厳密な理論家は、この質問に対する私の言い回しを許さなければなりません。私はGRに不慣れであり、私の物理学のトレーニングのほとんどは量子力学です）

非ユークリッド幾何学では、本質的に湾曲した空間のように球形の空間について話すことができます。球形の空間では、「平行な」線が点に収束します。ウィキペディアで、「平衡状態にあるブラックホールの事象の地平線のトポロジーは常に球形である」と読みました。

ブラックホールの周りの空間が球形であり、「平行線」の収束が事象の地平線の内側のある点で出会うと主張するのは正確な記述ですか？そうでない場合、特異点の周りの空間を双曲線、球、または他の何かとして分類することさえできますか？

以下のリンク：

https://en.wikipedia.org/wiki/Black_hole#Event_horizon

回答

3 RickyTensor Aug 16 2020 at 07:55

ブラックホールの近くの時空を「球形」と表現するのは正しくないと思います。一つには、ブラックホールにどれだけ近づいているかによって、空間の曲率が変化します。球の場合、曲率は一定であり、場所によって変化しません。また、2より大きい次元の時空間の曲率を指定するには、複数の実数が必要です（これは、一方向に向けられた三角形の角度が合計で180度未満になるスペースがある可能性があるためです。、しかし、異なる方向に向けられた三角形の角度は、合計で180度を超えます。）また、ブラックホールの重力場は、空間の曲率だけでなく、時空間が湾曲しているという事実に大きく依存します。

曲率テンソルのさまざまなコンポーネントの符号に基づいて時空の曲率を分類することもできますが、分類は球形、フラット、双曲線よりも複雑になります。

10 ChiralAnomaly Aug 16 2020 at 08:54

ウィキペディアで、「平衡状態にあるブラックホールの事象の地平線のトポロジーは常に球形である」と読みました。

この回答は、そのステートメントの意味を明確にします。つまり、4D時空のブラックホールから始めて、地平線をそれ自体で3D多様体と見なすと、この多様体はトポロジーを持ちます。$S^2\times \mathbb{R}$、どこ $S^2$ 2つの球（ボールの表面）であり、 $\mathbb{R}$線です。これは、ジオメトリではなく、トポロジに関するステートメントです。特に、このステートメントは測地線（または平行線）について（ほとんど）何も述べていません。

ちなみに、このステートメントは4D時空のブラックホールに固有のものです。5d時空では、ブラックホールは非球形トポロジーの事象の地平線を持つことができます。

例

4D時空のシュワルツシルト計量を考えてみましょう。宇宙のような世界線の線要素は$$ ds^2 = -A(r) dt^2 + \frac{dr^2}{A(r)}+r^2d\Omega^2 \tag{1} $$ どこ $A(r)$地平線上でゼロになります。表記$d\Omega^2$ は球面座標部分の略語です。 $A$、組み合わせ ${dr^2}+r^2d\Omega^2$球座標での平坦な3dユークリッド空間の線要素になります。の任意の固定値$r$4d時空の3d部分多様体を定義します。場合$A(r)\neq 0$、このマニホールドで誘導されるメトリックは $$ ds^2 = -A(r) dt^2 +r^2d\Omega^2 \tag{2} $$ 今どこに $r$ そして $A(r)$定数です。これはの標準メトリックです$S^2\times\mathbb{R}$、ここで、因子 $\mathbb{R}$ 余分な座標を説明します $t$。地平線上に、私たちは持っています$A(r)=0$、および式（1）はそこでは意味がありません。円滑なマニホールドはまだ理にかなっているが、部品のメトリックはありません。これには、次の2つの方法のいずれかで対処できます。