ブラウン運動を最大に実行する確率

Question

しましょう $W_t$ ブラウン運動であり、 $M_t = \sup_{0 \leq s \leq t} W_s$。それを見せたい$$ P( M_t > b, W_t < a) = P(W_t < a - 2b) \quad \forall a \leq b, b >0$$ しかし、私は立ち往生しています。

私はこれまでに次のものを持っています：

しましょう $T \equiv \inf \{t \ge 0: W_t > b \}$。これはほぼ確実に有限の停止時間であるため、$\widetilde{W}_t \equiv W_{T+t} - b$ は独立したブラウン運動です $\mathcal{F}_T$ （ここではいくつかの正しい連続ろ過を想定しています）強いマルコフ性による。

イベントに注意してください $T < t$ そして $M_t > b$ほとんどどこでも同じです。したがって、私たちが求める確率は次のように計算できます。$$P(T < t, W_t < a) = P(T < t, \widetilde{W}_{t - T} < a - b) = E(E(f(T, \widetilde{W})|\mathcal{F}_T)) \\ = E( P(\widetilde{W}_{t-u} < a-b) \mathbf{1}(u < t) |_{u = T}) \quad \text{by independence} \quad \textbf{(EQ2)} \\ = E\left( P \left(Z < \frac{a-b}{\sqrt{t-T}} \right) \mathbf{1}(T <t)\right) \quad \textbf{(EQ1)} $$

にとって $f(u, Y) = \mathbf{1}(u < t)\mathbf{1}(Y_{t-u} < a -b)$、および $Z \sim N(0,1)$

設定 $ a = b$ 上記の収量で $P(T < t) = 2P(W_t > b)$EQ1の数量が次のように記述されるように$$\frac{b}{2 \pi}\int_0^t \int_{-\infty}^{\frac{b-a}{\sqrt{t-u}}} \frac{\exp\left(-\frac{1}{2}(x^2 -b^2/u) \right)}{u^{3/2}} dx du $$

命を救うためにそれを単純化することはできません。（うまくいけば）もっと簡単な方法があるかもしれません、あるいはこの積分を認識するある種の簡単な方法が私たちが望んでいるものです。誰かアイデアはありますか？

打ちのめされた議論の代わりに、ガウスの対称性のために単にそれを言うなら $\widetilde{W}_{t-u}$、（EQ2）は次と同等です：$$E(P(\widetilde{W}_{t-u} > b-a) \mathbf{1}(u < t) |_{u = T}) = P(\widetilde{W}_{t-T} > b-a, T < t)\\ \text{applying the same independence argument in reverse} \\ = P(W_t > 2b-a, T< t) = P(W_t > 2b - a)$$ 以来 $2b - a \geq b$ したがって $ W_t > 2b -a \implies T < t$

Answer 1

質問は、以下のものよりも正しい解決策で編集されています。ただし、直感を十分に捉えているので、そのままにしておきます。

これが反射原理です。直感的に、交差するすべてのパスに対して$b$、次に下に移動します $a$、パスを反転できます $b$ 先に進み、上に行くパスを取得します $2b - a$

あなたが定義するように、 $T = \inf \{t \geq 0 W_t > b\} $、および注意してください $W_T$明確に定義された構成です。ご了承ください$W_s$ そして $W'_s = W_{t - s} - W_s$独立しています。だから、私たちはそれを持っています

$$P(M_t > b, W_t < a) = \int_0^t P(T = s, W'_{s} < a - b) ds $$

そして私達は注意します $P(T = s, W'_{s} < a - b) = P(T = s)P(W'_{s} < a - b) = P(T = s) P(W'_{s} > b - a) = P(T = s, W'_{s} > b - a)$

停止時間の未来からの独立性とガウス分布の対称性によって。ご了承ください

$\int_0^t P(T = s, W'_{s} > b - a) = \int_0^t P(T = s, W_t > 2b - a) = P(W_t > 2b - a)$ 以来 $\{ T \in [0,t] \} \subset \{W_t > 2b - a\} $

結果は、次の対称性から得られます。 $W_t$。