超越要素による体拡大の次数

Question

しましょう $F$ フィールドになり、 $F(x)$ 多項式環の分数のフィールドである $F[x]$。体拡大の程度に興味があります$[F(x) : F]$。明らかにそれは無限ですが、そのカーディナリティは正確には何ですか？それは...ですか$\aleph_0$？それは分野に依存しますか$F$？

Answer 1

ナチュラル $F$-の基礎 $F(x)$ です $$\{ x^k, k\ge 0\} \cup \{ x^l/h^m, m\ge 1,l<\deg(h), h \in F[x]\text{ monic irreducible}\}$$ したがって（ $F$ 無限）基礎のカーディナリティは、 $F$ そして $F[x]^2$、すなわち。それはと同じです$F$。

Answer 2

無限のフィールドの場合 $F$、 $F[x] = \oplus_{n \geq 0} F (x^n)$ カーディナリティは $F$、および全射マッピングがあります $F[x] \times (F[x])^* \rightarrow F(x)$ によって与えられた $(p(x), q(x)) \mapsto \frac{p(x)}{q(x)}$ （どこ $(F[x])^* = F[x] \setminus \{ 0 \}$）。以来$F[x] \times (F[x])^*$ カーディナリティは $F[x]$、結果は次のとおりです。

場合 $F$ 有限です、 $F[x]$ 可算無限大であり、上記と同じ論理により、 $F(x)$ 可算無限です。