チョン・エルデシュの不等式を証明するためのシュワルツの不等式の使用

Question

私はチョン・エルデシュの不平等の証拠を理解しようとしています。私が見つけることができるすべての情報源（MSEに関する関連する質問と回答を含む）は、次の行に沿って何かを述べています：if$A_1, \ldots, A_n$ イベントであり、 $X_i$ の特性関数によって与えられる確率変数です $A_i$、 $i = 1, \ldots, n$、次に、シュワルツの不等式から次の不等式が続きます。

$$[E(X_1+...+X_n)]^2 \leq P(X_1+...+X_{n}>0)E[(X_{1}+...+X_n)^2]$$

私はおそらくこれについて特に愚かですが、上記を取得するためにシュワルツの不等式を適用する方法がわかりません。

Answer 1

コーシー・シュワルツの不等式の1つの形式は、 $E[UV]^2\le E[U^2] E[V^2]$。（これは、内積を使用して、2次モーメントを持つ実数値確率変数の空間に適用される通常のCS不等式です。$\langle X,Y\rangle=E[XY]$。）

ケースにこれを適用します $U=X_1+X_2+\cdots+X_n$ そして $V=I_{U>0}$。ご了承ください$E[U]=E[UV]$、 それ $V^2=V$ そしてそれ $E[V^2] = E[V] = P(U>0)$、あなたの不平等を提供します $$E[X_1+\cdots+X_n]^2 = E[UV]^2\le E[V^2] E[U^2] = P(X_1+\cdots+X_n>0)E[(X_1+\cdots+X_n)^2].$$

Answer 2

しましょう $X = X_1 + \cdots + X_n$ とで示す $f$ その確率密度関数。

書く $X f = \sqrt{f} (X \sqrt{f})$。次に

$$\left(\int X f dX\right)^2 \leq \int f dX \int X^2 f dX$$

コーシーシュワルツ著。