伝播速度が異なる波動方程式を解く際のベクトル恒等式

Question

と仮定する $u = (u^1, u^2, u^3)$ 線形弾性の進化方程式を解きます。 $$u_{tt}-µ \Delta u − (λ + µ) D (\nabla\cdot u) = 0$$ に $\mathbf{R}^3 × (0, ∞)$。それを示す$w := \nabla \cdot u $ そして $w := \nabla \times u$ それぞれが波動方程式を解きますが、伝播速度は異なります。

これは、エヴァンの偏微分方程式の第2章の問題21です。

私はこの問題を行うことができます $ w := \nabla \times u$ 取得する $w_{tt} = \mu \Delta w$。ために$ w:= \nabla \cdot u$、私はから進む方法を認識していません

$$ w_{tt} = \mu \Delta w + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot w) $$

に $$w_{tt} = \mu (\Delta w) + (\lambda + \mu)(\Delta w)$$

以来 $ w = \nabla \cdot u$ スカラーです、私はどのように発散がわからない $w$ここで定義されています。アイデンティティ$\Delta w = \nabla(\nabla \cdot w) - \nabla \times \nabla \times w $ ここでは便利ですが、なぜカールのカールがわかりません $w$ この場合はゼロになるか、次の場合に定義されます。 $w$スカラーです。たぶん私は問題の声明の中で何かを誤解していますか？どんな助けでもありがたいです。

Answer 1

エヴァンスはそれを意味します $\nabla\cdot u$ スカラー値の波動方程式を解き、 $\nabla\times u$ベクトル値の波動方程式を解きます。あなたの問題は、特に微分演算子を過負荷にしていることです$\Delta$。ここでは、ベクトルラプラシアンとスカラーラプラシアンが使用されています。あなたが述べたアイデンティティ$\Delta w$ はベクトルラプラシアン用であり、ベクトル値関数に対してのみ意味があります $w$。以来$w = \nabla\cdot u$ はスカラー関数であるため、スカラーラプラシアンの定義を使用する必要があります $\Delta w = \nabla\cdot(\nabla w)$ 代わりに。