デュアルマススプリングシステムの余分なエネルギー

Aug 17 2020

以下は、滑らかな表面（摩擦なし）に配置されたデュアルマススプリングシステムです。スプリング定数を次のように仮定します。 $k$ この場合。

さて、価値の春に小さな拡張を作成すると $x_o$、2つの質量は、振幅を使用して個別に単振動（SHM）を実行します。 $A_1$ そして $A_2$ それぞれそのような $A_1$ + $A_2$ = $x_o$。今、上記のシステムの総エネルギーはによって与えられます$\frac{1}{2}kx_o^2$ そしてそれらの個々の振動のエネルギーは $\frac{1}{2}kA_1^2$ そして $\frac{1}{2}kA_2^2$。だが$\frac{1}{2}kA_1^2$ + $\frac{1}{2}kA_2^2$ $\neq$ $\frac{1}{2}kx_o^2$。では、この余分なエネルギーは何のために使われているのでしょうか？それは大衆の個々の振動のエネルギーを受けないので、明らかにそれはSHMに使用されていません。だから何に使われているのかわからない！

別の質問もあります。それらの個々の最大運動エネルギーは次のように関連しています。$\frac{1}{2}mv_1^2$ + $\frac{1}{2}Mv_2^2$ $=$ $\frac{1}{2}kx_o^2$、どこ $v_1$ そして $v_2$個々の質量の最大速度です。しかし、SHMを実行する物体の最大運動エネルギーは、その最大位置エネルギーと等しくなければなりません。そう$\frac{1}{2}kA_1^2$ に等しい必要があります $\frac{1}{2}mv_1^2$ 同様に $\frac{1}{2}kA_2^2$ に等しい必要があります $\frac{1}{2}Mv_2^2$。しかし、これは私たちの方程式に反します$\frac{1}{2}kA_1^2$ + $\frac{1}{2}kA_2^2$ $\neq$ $\frac{1}{2}kx_o^2$！だから私はここで何が起こっているのかかなり混乱しています！

だから誰かが私にこれらを説明できますか？

回答

2 gandalf61 Aug 17 2020 at 21:13

両方の質量を単一のSHMシステムとして一緒に分析する必要があります。2つの独立したSHMコンポーネントに分割することはできません。

自然な長さのばねから始めて、質量を移動するとします。 $m$ 少し左に $x_1$ と質量 $M$ 距離を右に $x_2$。ばねが両方の質量に及ぼす力は現在$k(x_1+x_2)$。だから私たちが質量を動かすと$m$ から $x_1=0$ に $x_1=A_1$ そして私たちは質量を動かします $M$ から $x_2=0$ に $x_2=A_2$ すると、春に蓄えられる総エネルギーは

$\int_0^{A_1+A_2} ky \space dy$

どこ $y=x_1+x_2$、および

$ \int_0^{A_1+A_2} ky \space dy = \frac 1 2 k (A_1+A_2)^2 = \frac 1 2 k x_0^2$

したがって、「余分なエネルギー」はありません。

質量を解放すると、質量の運動方程式 $m$ です

$m \frac {d^2x_1}{dt^2} = -k(x_1+x_2)$

そして大衆のために $M$ それは

$M \frac {d^2x_2}{dt^2} = -k(x_1+x_2)$

これらを足し合わせると

$\frac {d^2y}{dt^2} = -k'y$

どこ $k' = k(\frac 1 m + \frac 1 M)$、および $y(0) = x_0$、 $\frac{dy}{dt}(0) = 0$。そう

$y = x_0 \cos (\sqrt{k'}t) \\ \Rightarrow \frac {d^2x_1}{dt^2} = -\frac k m y = -\frac {kx_0}{m} \cos (\sqrt{k'}t) \\ \Rightarrow v_1 = \frac {dx_1}{dt} = -\frac {kx_0}{m\sqrt{k'}} \sin (\sqrt{k'}t)$

同様に

$v_2 = \frac {dx_2}{dt} = -\frac {kx_0}{M\sqrt{k'}} \sin (\sqrt{k'}t)$

ばねが自然な長さに戻ると、 $y=0$ そして $\cos \sqrt{k'}t = 0$ そう $\sin \sqrt{k'}t = 1$。したがって、システムの運動エネルギーは

$\frac 1 2 m v_1^2 + \frac 1 2 M v_2^2 = \frac {k^2 x_0^2}{2k'} \left( \frac 1 m + \frac 1 M \right) = \frac {kk'x_0^2}{2k'} = \frac 1 2 k x_0^2$

言い換えれば、ばねに蓄えられた位置エネルギーはすべて、予想どおり運動エネルギーに変換されています。

2 Farcher Aug 17 2020 at 21:33

しましょう $x$ 質量の平衡位置からの最大変位の大きさである $m$ そして $X$ 質量の平衡位置からの最大変位の大きさである $M$。

システムの勢いを維持するには、 $m\dot x = M\dot X \Rightarrow mx=MX$。

このシステムの場合、固有振動数は次の式で与えられます。 $\omega^2 = \dfrac{k(m+M)}{mM}$。

システムの最大運動エネルギーは $\dfrac 12 m \omega^2 x^2 +\dfrac 12 m \omega^2 X^2$。

の値を入れる $\omega^2$ 乗算すると、運動エネルギーは次のようになります。

$\dfrac 12 kx^2+\dfrac 12 k \left(\dfrac mM \right)x\, x +\dfrac 12 k \left(\dfrac Mm \right)X\, X+\dfrac 12 kX^2 = \dfrac 12 kx^2+\dfrac 12 k\, X\, x +\dfrac 12 k\, x\, X+\dfrac 12 kX^2=\dfrac 12 k(x+X)^2 = \text{elastic potential energy at the start}$。