どうですか ${}_{kG}\mathcal{M}$ テンソル圏？

Question

しましょう $G$ モノイドになり、 $k$可換単位環である。代数を考える$$kG = \left\{\sum_{g \in G}' \alpha_g g: \alpha_g \in k\right\}$$通常の操作で。私が読んでいるいくつかのメモは、カテゴリーが${}_{kG}\mathcal{M}$ の $kG$-モジュールはのテンソルカテゴリです $\otimes$ それ以上の情報を与えることなく。

質問：テンソル積とは何ですか$\otimes$ここに？左に与えられた$kG$-モジュール $M,N$、 私は信じている $M \otimes N$ 可換環上のテンソル積を示します $k$ どこ $M$ そして $N$ 入手する $k$-正規の埋め込みからのモジュール $k \to kG$。しかし、どのように賢明な行動を定義するのですか？$M \otimes N?$

我々は試すことができます $$g. (m\otimes n) = (gm) \otimes n$$ しかし、これは対称的ではないので、おそらく私が探しているものではありません！

Answer 1

あなたが無料を持っているとき $k$-モジュール $A$、それは共可換余代数の構造を持っています、すなわち $k$-線形マップ $\delta : A \to A \otimes_k A$ そして $\epsilon : A \to k$ 次の方程式が満たされるように：

$$\begin{aligned} (\epsilon \otimes_k \textrm{id}_A) \circ \delta & = \textrm{id}_A \\ (\textrm{id}_A \otimes_k \epsilon) \circ \delta & = \textrm{id}_A \\ (\delta \otimes_k \textrm{id}_A) \circ \delta & = (\textrm{id}_A \otimes_k \delta) \circ \delta \\ \sigma \circ \delta & = \delta \end{aligned}$$

（ここに、 $\sigma : A \otimes_k A \to A \otimes_k A$ 転置です $a \otimes b \mapsto b \otimes a$。）

明示的に、 $A$ があります $k$-基礎 $X$。定義する$\delta$ そして $\epsilon$ オン $X$ 次のように拡張します $k$-線形：

$$\begin{aligned} \delta (x) & = x \otimes x \\ \epsilon (x) & = 1 \end{aligned}$$

これが作ることを確認するのは簡単です $A$共可換余代数に。したがって、$A$ また、の構造を持っています $k$-を作る代数 $\delta : A \to A \otimes_k A$ そして $\epsilon : A \to k$ $k$-代数の準同型–たとえば、乗算と単位が次のように定義されている場合 $k$-に基づいてモノイド構造を線形に拡張する $X$ –スカラーを制限して任意の方向に回転させることができます $(A \otimes_k A)$-モジュールを $A$-モジュール。特に、2つ与えられた$A$-モジュール $M$ そして $N$、明らかな $(A \otimes_k A)$-アクション $M \otimes_k N$、すなわち、 $$(a \otimes b)(m \otimes n) = (a m) \otimes (b n)$$ そしてこれは $A$-アクション $M \otimes_k N$。共増殖の共会合性$\delta$ 作る $\otimes_k$ のカテゴリーの連想モノイド製品 $A$-モジュール、および共可換性はそれを対称にします。