同型 $f:\mathbb{Z}/17\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/561\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/51\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/187\mathbb{Z}$ [複製]

Dec 02 2020

群同型を見つけたい $f:\mathbb{Z}/17\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/561\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/51\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/187\mathbb{Z} $。有限アーベル群の基本定理と中国剰余定理により、これらの群は同型であることがわかりますが、同型を構築して示したいと思います。

しかし、最初のステップが何であるかはわかりません。私が知っている唯一のことはそれです$f(0,0)=(0,0)$ 同型写像は単位元を単位元に写像するからです。

それから私は同型を構築する方法を見ましたか?のように方法を模倣しようとしました$f(x,y)=(x\mod{51},y\mod{187})$、しかしそれは明らかに全射ではありません。

今、私はここで立ち往生しています。何か助けはありますか?

回答

2 ParclyTaxel Dec 02 2020 at 13:49

中間グループを紹介します $\mathbb Z_{17}×\mathbb Z_3×\mathbb Z_{187}$。このグループの任意の要素を次のように表します$(a,b,c)$ ここで、インデックスはモジュロ剰余です $17,3,187$ それぞれ。

このグループからのドメインへの同型があります $f$$(a,b,c)\mapsto(a,187b+c)$。の終域への同型もあります$f$$(a,b,c)\mapsto(3a+b,c)$。これらの2つの同型写像を組み合わせると、必要なものが得られます$f$