同型 $\phi:S_n\rightarrow S_A$。
私は今、問題に取り組んでいます。 $H,K\subset S_5$、 $H$ 修正する順列のグループです $1$、および $K$ 修正する順列のグループです $2$。問題はそれを示すために言う$H\approx K$。私が見たものから、これはそれを示すことを含みます$H\approx S_4\approx K$、という事実に基づいて $H$ の順列のグループです $\{2,3,4,5\}$ そして $K$ の順列のグループです $\{1,3,4,5\}$。
使用できる同型の一般的な考え方はありますが、表記に問題があるだけだと思います。セットがあるとしましょう$A=\{a_1,a_2,a_3,a_4\}$、および関数を定義したい $\phi: S_4\rightarrow S_A$ （私は上の対称群に正しい表記法を使用していることを願っています $A$、しかしそうでない場合は私を訂正してください）。アイデアは、誰にとっても$\alpha\in S_4$ そして $\beta\in S_A$、 $\phi(\alpha)=\beta$ 場合に限り $\alpha(x)=n$ そして $\beta(a_x)=a_n$ すべてのために $1\leq x,n\leq4$; たとえば、$\alpha(1)=3$、その後 $\beta(a_1)=a_3$。見せられたら$\phi$ は同型であり、当然、次のようになります。 $H$ そして $K$ 同型である $S_4$。
この問題について2つの質問があります。
この関数のより単純な、またはより正式な表記法はありますか、それとも私が提示した方法で十分に適していますか？
両方を考慮して、これも必要ですか $S_4$ そして $S_A$ 4要素セットの順列のグループはありますか？
どんな助けでも大歓迎です。ありがとう！
回答
しましょう $X$ そして $Y$ セットになり、 $f\colon X\to Y$全単射。次に地図$\varphi\colon S_X \to S_Y$、 によって定義されます $\sigma\mapsto(y\mapsto (f\sigma f^{-1})(y))$、は同型です。特に、同じ数の要素を持つ任意の2つの有限集合の対称群は同型であり、$S_A\cong S_n$ すべてのセットに対して $A$ の $n$ 要素。
これらのサブグループは共役です。順列を取る$(12)$ 次に、その順列によって結合されたサブグループの1つが他のサブグループです。