円上の2点間の平均距離を見つける間違った方法

Question

円上の2点間の平均距離を求めてみたところ、次のような結果が得られました。

なぜ私の方法が間違っているのですか？

Answer 1

可能な分布のためあなたの方法は間違っています $x$ そして $y$-値が均一ではありません（$x$-に近い値 $\pm r$ に近い値よりも一般的です $0$、および $y$-に近い値 $0$ そして $2r$ に近い値よりも一般的です $r$）。個人的には三角法と角度を使用することをお勧めします$\angle P_1OP_2$ 代わりに、その角度は確かに均一に分布しているためです。

Answer 2

しましょう $P_1$ 修正されます $P_2$円の周りを移動します。これらのポイント間の距離は次のとおりです。

$$s=2R\sin{\alpha \over 2}$$

...どこ $\alpha$ ポイントに対応する中心角を表します $P_1,P_2$

対称性があるため、平均距離を計算するために円の半分しかチェックできません。

$$d=\frac{\int sdl}{\int dl}$$

$$d=\frac{\int_0^\pi 2R\sin\frac\alpha2\cdot Rd\alpha}{R\pi}$$

$$d=\frac{-4R^2cos\frac\alpha2|_0^\pi}{R\pi}=\frac{4R}{\pi}$$

Answer 3

君の $P_1 P_2$値は正しいですが、yで積分しているのに対し、y = 0と2rの間の円弧で積分する必要があります。したがって、最良の方法は極座標でそれを行うことです。

円上の点の座標は $(r\sin2\alpha, r - r\cos2\alpha)$ どこ $\alpha$ x軸と線の間の角度です $P_1P_2$。

原点から円上の点までのすべての線の合計 $y = 2r$ です

= $r\sqrt2 \int_0^{\pi/2} \sqrt{1-\cos2\alpha} \space d\alpha$、を使用して $P_1P_2 = \sqrt{2ry}$ あなたの仕事に従って。

= $r\sqrt2 \int_0^{\pi/2} \sqrt2 \sin\alpha\space d\alpha = 2r[-cos\alpha]_0^{\pi/2} = 2r$

これはオーバーアングルです $\pi/2$。だから平均の長さ$P_1P_2 = \dfrac{4r}{\pi}$