フィールドを3つ以上の操作に一般化する：これらの定義は同等ですか？
前の質問を参照してください。3つの操作を持つ「一般化されたフィールド」を無限にすることはできますか？
セットあり $S$、および $n$ 操作 $\times_0,\times_1,\times_2,\cdots,\times_{n-1}$ オン $S$。各操作$\times_k$ 可換であり、連想的であり、アイデンティティを持っている $e_k\in S$、および前の操作に分散します $\times_{k-1}$。また、アイデンティティはすべて異なります。示す$S_k=S\setminus\{e_0,e_1,e_2,\cdots,e_{k-1}\}$ （それを理解する $S_0=S$など）。全体の構造はと呼ばれます$n$-さらにいくつかのプロパティがある場合はフィールド。
上記のプロパティを考えると、次のプロパティ（のいくつかの組み合わせ）は同等ですか？
$(1)$ 各 $\times_k$ ある意味で反転可能です $a\in S_k$、 が存在します $b\in S$ そのような $a\times_kb=e_k$。
$(2)$ 各 $\times_k$ ある意味で反転可能です $a\in S_k$、 が存在します $b\in S_k$ そのような $a\times_kb=e_k$。
$(3)$各IDは、上位の操作に関してはnullです。のために$k<l$ および任意の $a\in S_k$、 $e_k\times_la=e_k$。
$(4)$ 再帰的に、両方の構造 $(S_0,\times_0,\times_1,\cdots,\times_{n-2},e_0,e_1,\cdots,e_{n-2})$ そして $(S_1,\times_1,\times_2,\cdots,\times_{n-1},e_1,e_2,\cdots,e_{n-1})$ です $(n-1)$-田畑。（そして$1$-フィールドはアーベル群です。）
$(5)$ すべて $(n-1)$ 構造の $(S_k,\times_k,\times_{k+1},e_k,e_{k+1})$フィールドです。（または$n=1$ 構造はアーベル群です。）
明らかに $(2)$ 意味する $(1)$、および $(1)$ そして $(3)$ 一緒に意味する $(2)$。理想的には$(1)$ 他のすべてを意味するために単独で。
証明する $(4)$ 2番目の構造（最初の構造は簡単です）の場合、それを示す必要があるだけです $S_1$ 下で閉じられます $\times_1,\times_2,\cdots,\times_{n-1}$; つまり、$a\neq e_0\neq b$、その後 $a\times_kb\neq e_0$。しかし、これは$(3)$ と可逆性。
私のリンクされた質問はそれを証明します $(1)$ 場合に他を意味します $n=3$、および $n$-フィールドが存在する $n>4$ それが真実であるという条件で $n=4$。だから焦点を当てましょう$4$-フィールド、およびプロパティを想定 $(1)$。
下部構造は $(S_0,\times_0,\times_1,\times_2,e_0,e_1,e_2)$ は $3$-フィールド、つまり、すべての人にとって $a\in S$、
$$e_0\times_0a=e_1\times_1a=e_2\times_2a=a,$$
$$e_0\times_1a=e_0\times_2a=e_0,$$
$$a\neq e_0\implies e_1\times_2a=e_1.$$
最後の2行はプロパティです $(3)$この下部構造の場合。完了するには$(3)$、最終的な操作を検討する必要があります $\times_3$：
$$e_0\times_3a\overset?=e_0,$$
$$a\neq e_0\overset?\implies e_1\times_3a=e_1,$$
$$e_0\neq a\neq e_1\overset?\implies e_2\times_3a=e_2.$$
最後のものについては、定義する $x=e_2\times_3a$ 与えられた代数法則を使用して、
$$e_2\times_3a=(e_2\times_2e_2)\times_3a=(e_2\times_3a)\times_2(e_2\times_3a),$$
わかります $x=x\times_2x$独自の広場です。場合$x\in S_2$ （そうではないことを意味します $e_0$ または $e_1$）、それからそれは $\times_2$-反転可能で、除算すると $e_2=x$。代わりに$x=e_0$ または $e_1$、その後
$$a=a\times_3e_3=a\times_3(e_3\times_2e_2)=(a\times_3e_3)\times_2(a\times_3e_2)=a\times_2x,$$
だから私たちは得る $a=a\times_2e_0=e_0$、または $a=a\times_2e_1=e_1$、矛盾。したがって、$x=e_2\times_3a=e_2$。
実際、私たちは証明することができます $(2)$ から $(1)$、少なくともその場合 $n=4$。私たちはすでにそれを知っています$\times_0,\times_1,\times_2$ それぞれのスペースで反転可能です $S_0,S_1,S_2$。検討する必要があります$a\in S_3$：その $\times_3$-逆 $b$ でも $S_3$？逆にそれを仮定します$b=e_0$、 $e_1$、または $e_2$。次に、の既知のプロパティから$3$-田畑、 $b=b\times_2b$、 したがって
$$e_3=a\times_3b=a\times_3(b\times_2b)=(a\times_3b)\times_2(a\times_3b)=e_3\times_2e_3;$$
だが $e_3\in S_2$反転可能です。分割すると$e_2=e_3$、矛盾。だから私たちは持っている必要があります$b\in S_3$。
回答
リンクされた質問の終わり近くの議論から、 $\times_1\times_2$ 構造は、特性を持たないフィールドでなければなりません $2$; あれは、$e_2\times_1e_2\neq e_1$。だから$\times_1$-の逆 $e_2$ （それを呼びましょう $x$） ではありません $e_2$自体。また
$$e_2\times_1x=e_1,$$
$$e_2\times_1e_1=e_2\neq e_1,\quad e_2\times_1e_0=e_0\neq e_1,$$
それはそれを示しています $x$ ではありません $e_1$ または $e_0$。これは私たちに$x\in S_3$。
以来 $(-1)\cdot(-1)=1$ どんな分野でも、 $x\times_2x=e_2$：
$$e_2=x\times_2x=(x\times_3e_3)\times_2(x\times_3e_3)=x\times_3(e_3\times_2e_3).$$
しましょう $y$ である $\times_3$-の逆 $x$。OPで次のことが示されました$y$ にある必要があります $S_3$ （これはのサブセットです $S_2$）そしてその何でも $S_2$ によって吸収されます $e_2\times_3y=e_2$。上記の式に$y$、私たちはそれを見つけます
$$e_2\times_3y=x\times_3y\times_3(e_3\times_2e_3)=e_3\times_3(e_3\times_2e_3)$$
$$e_2=e_3\times_2e_3.$$
ここで、任意の要素について考えます。 $a\in S_2$：
$$a\times_2a=(a\times_3e_3)\times_2(a\times_3e_3)=a\times_3(e_3\times_2e_3)=a\times_3e_2=e_2.$$
どの分野でも、方程式 $a\cdot a=1$ 解決策は2つだけです。 $a=\pm1$; あれは、$a=e_2$ または $a=x$。したがって、$S$ 正確に持っている必要があります $4$要素。（特に、$x=y=e_3$。）
ので $n$-フィールドも $k$-任意のフィールド $k<n$ （操作は無視してください $\times_k,\cdots,\times_{n-1}$）、次のようになります $n$-のフィールド $n>4$。
しかし、この場合には奇妙な驚きがあります $n=|S|=4$：構造は一意ではなく、実際には $(1)$ 意味しません $(3),(4),(5)$。
$$\begin{array}{c|cccc}\times_0&e_0&e_1&e_2&e_3\\\hline e_0&e_0&e_1&e_2&e_3\\e_1&e_1&e_0&e_3&e_2\\e_2&e_2&e_3&e_0&e_1\\e_3&e_3&e_2&e_1&e_0\end{array}\qquad\begin{array}{c|cccc}\times_1&e_0&e_1&e_2&e_3\\\hline e_0&e_0&e_0&e_0&e_0\\e_1&e_0&e_1&e_2&e_3\\e_2&e_0&e_2&e_3&e_1\\e_3&e_0&e_3&e_1&e_2\end{array}$$
$$\begin{array}{c|cccc}\times_2&e_0&e_1&e_2&e_3\\\hline e_0&e_0&e_0&e_0&e_0\\e_1&e_0&e_1&e_1&e_1\\e_2&e_0&e_1&e_2&e_3\\e_3&e_0&e_1&e_3&e_2\end{array}\qquad\begin{array}{c|cccc}\times_3&e_0&e_1&e_2&e_3\\\hline e_0&e_0&e_0&e_0&e_0\\e_1&e_0&\mathbf{e_0}&e_1&e_1\\e_2&e_0&e_1&e_2&e_2\\e_3&e_0&e_1&e_2&e_3\end{array}$$