$G$ 三角形の内側の点です $ABC$ そのような $[GBC]=[GCA]=[GAB]$、 どこ $[XYZ]$ のエリアです $XYZ$。それを示す $G$ の図心です $ABC$。
しましょう $G$ 三角形の内側の点になります $ABC$ そのような $[GBC]=[GCA]=[GAB]$、 どこ $[XYZ]$ トライアグルの領域です $XYZ$。それを示す$G$ 三角形の図心です $ABC$。
私の試み：それ以来$[GBC]=[GCA]=[GAB]$、だから私たちは持っています $CG$、 $AB$ そして $GB$、は $3$ 中央値なので $G$ の図心です $ABC$。
私はそれについてはよく分かりません。
回答
しましょう $CG\cap AB=\{C_1\}$、 $BG\cap AC=\{B_1\},$ $AG\cap BC=\{A_1\}$、
$S_{\Delta AGC}=S_{\Delta AGB}=S_{\Delta CGB}=s$、 $S_{\Delta GBA_1}=a_2$ そして $S_{\Delta GCA_1}=a_1.$
したがって、 $$\frac{BA_1}{CA_1}=\frac{a_2}{a_1}=\frac{s+a_2}{s+a_1},$$ これは $$a_1=a_2$$ そしてここから $A_1$ の中間点です $BC$。
今すぐ終わらせてもらえますか？
三角形でない限り、そうではありません $ABC$ 正三角形です。
しかし、これは、アフィン変換を使用できるかどうかの一連の推論を示唆しています。次の事実があります。
アフィン変換では、2つの領域間の比率は一定です。
場合 $(ABC)$ そして $(A'B'C')$ は2つの非縮退三角形であり、一方を他方にマッピングするアフィン変換が存在します。
したがって、一般に問題を解決するには、正三角形に対して問題を解決するだけで十分です。そして、あなたはそれを持っています。
重心座標を知っていれば、簡単な証明があります。
簡単に言うと、点の重心座標 $M$ 三角形の内部 $ABC$ システムです $(w_A,w_B,w_C)$ の $3$ 頂点に配置される数値（「ウェイト」と呼ばれる） $A,B,C$ で重心を取得するには $M$。
これらの重みを見つける簡単な方法があります（重心座標のいわゆる面積解釈）：
$$w_A=[MBC], \ \ w_B=[AMC], \ \ w_C=[ABM]\tag{1}$$ （（https://www.scratchapixel.com/lessons/3d-basic-rendering/ray-tracing-rendering-a-triangle/barycentric-coordinates）、
備考：その定義により、重心座標は乗数まで一意です。最も一般的な乗数は$1/[ABC]$：この場合、それらを正規化された重心座標と呼び、それらの合計は$1$。
すべてのエリアの場合 $[GBC]=[GCA]=[GAB]$ が等しい場合、正規化された重心座標は $(1/3,1/3,1/3)$：図心のものを認識します; これにより、重心座標が単一であるため、結論を出すことができます。
備考：重心座標は、次の場合でも意味があります$M$ 三角形の外側です $ABC$：（1）で、領域が方向付けられた領域であることを考慮してください。例えば$[MBC]$ から行く場合はポジティブと見なされます $M$ に $B$、次に $C$、直接向きで回転します。それ以外の場合は。 $[MBC]$ 負の符号で取得されます。