限界評価。

Question

N. Piskunovで、彼は落下する物体に作用する空気抵抗の例を取り上げて微分方程式を説明しました。微分方程式を評価した後、彼は次のような速度の方程式を取得します。$$v = \left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k}.$$

彼はそれから次のように述べています $k = 0$ 次に、方程式は基本方程式に変わります。 $$v = v_o + gt.$$

空気抵抗がゼロのとき、この速度方程式が成り立つので、今私はこのステートメントを理解しています。ただし、制限を評価しているときに、このステートメントを証明することはできません。$$\lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right]$$

制限を評価する手助けをいただければ幸いです。

Answer 1

あなたが持っている

$$\begin{equation}\begin{aligned} \lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] & = \lim_{k \rightarrow 0} \left[v_oe^{-\frac{kt}{m}} - \frac{mg}{k}e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] \\ & = \lim_{k \rightarrow 0} \left[v_{o}e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} \right] \\ \end{aligned}\end{equation}\tag{1}\label{eq1A}$$

最初の項の限界、すなわち、 $v_{o}e^{-\frac{kt}{m}}$、は単に $v_{o}$。第二期は限界になるので$\frac{0}{0}$、ロピタルの定理を使用して、

$$\begin{equation}\begin{aligned} \lim_{k \rightarrow 0} \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} & = \lim_{k \rightarrow 0} \frac{mg\left(-e^{-\frac{kt}{m}}\left(-\frac{t}{m}\right)\right)}{1} \\ & = mg\left(\frac{t}{m}\right) \\ & = gt \end{aligned}\end{equation}\tag{2}\label{eq2A}$$

dnfuの質問コメントにリストされたファクトを使用して同じ値を取得することもできます。したがって、\ eqref {eq1A}からの結合結果は次のようになります。

$$\lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] = v_{o} + gt \tag{3}\label{eq3A}$$

Answer 2

別の方法として、標準の制限でそれを持っています $\frac{e^x-1}{x} \to 1$ なので $x \to 0$

$$ \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} =gt \,\frac{ e^{-\frac{kt}{m}}-1}{-\frac{kt}m} \to gt \cdot 1= g t$$

結果は次のとおりです。

Answer 3

と

$$e^{-\dfrac{kt}{m}}\approx 1-\dfrac{kt}{m},$$

$$\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\dfrac{kt}{m}} + \frac{mg}{k}$$

になります

$$v_o+\left(g-\frac{kv_0}m\right)t\approx v_o+gt.$$