グループの（標準）定義。
コメントと回答からの提案を組み込むために編集：
通常、グループの定義は次のとおりです。
定義：もし$S$ セットです、 $*$ の二項演算です $S$、および $e \in S$、その後 $G = (S,e,*)$次の場合、グループと呼ばれます
（私） $(ab)c = a(bc)$、 $\forall a,b,c \in S$ （結合性）;
（ii） $\exists e \in S$ そのような $ae = a = ea$、 $\forall a \in S$（身元）; そして
（iii） $\forall a \in S$、 $\exists b \in S$ そのような $ab = e = ba$ （逆）。
次の定義を検討してください。
定義：もし$S$ セットです、 $*$ の二項演算です $S$、および $e \in S$、その後 $G = (S,e,*)$次の場合、グループと呼ばれます
（私） $(ab)c = a(bc)$、 $\forall a,b,c \in S$ （結合性）;
（ii） $\exists e \in S$ そのような $ae = a$、 $\forall a \in S$（正しいアイデンティティ）; そして
（iii） $\forall a \in S$、 $\exists b \in S$ そのような $ab = e$ （右逆）。
これらの公理は、すべての右逆が左逆であることを意味し、 $e$で左のアイデンティティ。（もちろん、右の単位元と右の逆を使用することについて特別なことは何もありません。また、左の単位元と左の逆を公理としてとることもできます。）
質問1：私が見た抽象代数のほとんどの学部教科書（これは逸話であることに気づきました）では、最初の定義が使用されています。著者が2番目の定義の変形ではなく最初の定義を使用する理由はありますか？定義をできるだけスリムにすることが望ましいことを考えると、これは私には奇妙に思えます。
質問2：あるいは、2番目の定義（またはその変形）を採用している教科書はありますか？
回答
質問2：これが私の本棚からの4つの例です：
デレク・ロビンソンのグループ理論のコース、第2版（Springer、GTM 80）は、グループを、正しい単位元と正しい逆元を持つ半群（連想二項演算による空でない集合）として定義しています（1ページ;彼はそれらも証明しています2ページの1.1.2の左側で作業します。
マーシャルホールジュニアのグループ理論（AMSチェルシーパブリッシングは私が見ているバージョンです）。グループの全体的な定義の一部として、両面バージョンと片面バージョンの両方を提供します。これは、両面バージョンが「冗長」であることを示し、片面バージョンを提供します。
バーンサイド、有限次数の群論（私はオリジナルの1911年第2版のドーバーの1959年の再版を見ています）は、要素が逆を残していることだけを求める群論を定義します。彼は明示的にアイデンティティを必要としませんが、それは左逆の要件に従います。
ファンデルヴェルデンの代数は、左の単位元と左の逆数のみを必要とします。
質問1.グループを半群、モノイドなどのより一般的な理論に適合させたい場合は、モノイドではアイデンティティが両面であることを指定する必要があることに注意してください。あなたはそれを推測することはできません。したがって、「グループはすべての要素が逆元を持つモノイドです」、「グループは単位元を持ち、すべての要素に対して逆元を持つ半群です」（これは基本的にブルバキが行うことです）のように言いたい場合は、その場合、IDの指定は両面である必要があります。その場合、逆を片側で定義すると、少し奇妙に見えます。
また、定義はほとんどの学部生が経験するであろう経験と一致します：この時点で、彼らはおそらく通常の数値例に精通しています（$\mathbb{Z}$、 $\mathbb{R}$、 $\mathbb{Q}$、 $\mathbb{C}$、多分四元数、多分整数を法とする $n$）、そしておそらく行列も。したがって、（オブジェクトに条件を少なくすることで）形式的に包括的であるが、通常の例と一致するとクエリを招待するように見える定義よりも、少し複雑/不必要であっても、期待に一致する定義を与えるのが最善です。 。特に、ほとんどすぐにそれらが実際には両面であることを示す場合。
2番目の質問には答えられませんが、最初の質問に答えてみます。
2番目の定義を使用する場合でも、教科書の作成者が最初に行うことの1つは、2番目の定義が最初の定義を意味することを証明し、残りのテキスト全体でそれを使用することです。
また、2つの定義が同等であるという事実は、実際にはそれほど重要とは見なされていません。これは、「右グループ」定義の要件を満たしていることを知っている構造から開始することはめったにないが、それが「真のグループ」。
さらに、このような定義は、読者にさらに混乱をもたらす可能性があります。表面的にはスリムかもしれませんが、人々は対称性を非常に直感的に感じます。このようにグループを定義すると、グループは奇妙に見え（多くの人にとってはすでにそうである以上に）、「このルールが微調整されたらどうなるか」という線に沿って多くの質問が発生します。これは完全にすばらしい質問ですが、ほとんどの抽象代数の本が何であるかを損ないます。
最終的に、この定義の変更が本で紹介された場合、読者にいくつかの興味深い質問を与えることができると思いますが、ほとんどの場合、本の冒頭に向けて、関係のないことを探求するための余分なスペースを占めるだけです。本の残りの部分、その後、著者はとにかく標準的な定義を使用して先に進みます。おそらくそれがあまり使われない理由です。
（修正や提案があれば、コメントまたは編集してください）
技術的に言えば、（iii）は未定義を参照しているため、どちらの定義も正しくありません。 $e$。厳密な観点から、2つのオプションがあります。
オプション1
$(G,*,e)$ グループiffです $*$ の二項演算です $G$ そして $e∈G$ そして：
- $∀a,b,c\ ( \ (a*b)*c = a*(b*c) \ )$。
- $∀a\ ( \ a*e = e*a = a \ )$。
- $∀a\ ∃b\ ( \ a*b = b*a = e \ )$。
オプション2
$(G,*)$ グループiffです $*$ の二項演算です $G$ そして：
- $∀a,b,c\ ( \ (a*b)*c = a*(b*c) \ )$。
- $∃e\ ( \ ∀a\ ( \ a*e = e*a = a ∧ ∃b\ ( \ a*b = b*a = e \ ) \ )$。
〜〜〜
それはさておき、「最も無駄のない」定義を可能にすることはまったく良いことだと考えるのは誤りです。たとえば、PL（命題論理）は、単一の公理文スキーマ（たとえば、ウィキペディアに記載されているメレディス）によって公理化できます。さらに悪いことに、NANDが機能的に完全であるという理由だけで、否定論理積（NAND）を使用し、他のブール接続詞は使用しないでください。
もう1つの例は、PA（一次ペアノ算術）です。誘導を伴う離散順序付き半環に関するPAの公理化は、目的のモデルの真の構造をより明らかにするという理由だけで、後継者ベースの公理化よりもはるかに優れています。$ℕ$PAの。実際、そもそもPAの動機は、公理化したいと思ったことから生じました。$ℕ$、だから私たちはの基本的な特性を証明できる理論だけに関心があります$ℕ$、そして当然のことながら、これらの基本的な特性は、離散的な順序付けられた半環公理と誘導によって正確に表現されます。
これは、質問1に対する部分的な「フレームチャレンジ」の回答です。次のように記述します。
定義をできるだけスリムにすることが望ましいことを考えると、これは私には奇妙に思えます。
「リーンネス」は確かに望ましいものであり、他の条件は同じですが、定義の望ましい基準はそれだけではなく、支配的な基準でもありません。他の重要なものには、自然さ、理解可能性、および一般化可能性が含まれます。そしてこれらすべてがグループの標準的な定義を好ましいものにします。いくつかの特定の問題を見てください：
標準の定義は対称的です。あなたが提案するプレゼンテーションは、公理化に人為的な非対称性を導入します—もちろん、結果として得られる理論は対称的であるということになりますが、公理化はこれを隠します。
グループの例では、逆元と単位は両面であるため、両面と見なします。左利き用と右利き用のバージョンを実際に分岐する例で分割するのは自然なことです。したがって、標準のプレゼンテーションは、例の表示方法により適しています。
以下のようアルトゥーロMagidinの答えの詳細、より良い標準解像度の一般化、我々は弱い構造に移動したときに-モノイド、およびその上で、一方的かつ両面の概念は本当に等価ではないところ。
これらはすべて少し主観的ですが、それでも定義を選択する際には非常に現実的で重要です。
比較のために、HigmanとNeumann（Tarskiの以前の研究に続く）は、グループが単一の操作を使用して公理化できることを示しました $x/y$ 「除算」と単一の公理： $x / ((((x / x) / y) / z) / (((x / x) / x) / z)) = y$。これは確かに、標準のプレゼンテーションや片面バージョンよりも「スリム」です。しかし、理解しにくく、自然で、一般化することもできません。これをグループの主要な定義として与えるべきではないことに同意すると思います。あなたの提案は確かにこれよりはるかに優れています。しかし、ほとんどの数学者は、ほとんどの目的で、標準の定義よりも少し明確で自然ではないため、標準の定義が望ましいことに同意すると思います。
故意に答えではない
対称的な定義を提示し、グループで少し作業してから、「これは別の定義です。それが私たちの定義を暗示していることを示してください」という演習を行うことは悪い考えではないと思います。そして、その演習の後に、特定の定義を選択する方法/理由についての議論を続けることができます[おそらくここでの回答のいくつかから批判されました]。
あなたが新進の数学者を訓練しようとしているコースでは、あなたはこの問題を割り当てます。代数を教えようとしているだけのコースでは（たとえば、結晶学のために代数を知る必要がある人々に）、それをスキップします。
また、たとえばIsabelle / HOLのように、数学の形式化とコンピューターを使用した実装のための階層を構築する方法について話し合うことを計画しているコースでは、さまざまな可能性すべてについて話し合うことができます。それぞれが代数のさらなる側面であなたの発達を助け/妨げます。