「逆」 $N$-体の問題[クローズ]

Question

よく知られている $N$-古典力学における体の問題：初期位置と速度が与えられた場合 $N$ ある空間の粒子は、ある時間間隔でのそれらのダイナミクスを記述します。

ある種の「逆」問題に興味があります。あることがわかっていると仮定しましょう。 $(N+1)$ある空間の粒子。私たちはの軌道を与えられています$N$ある時間間隔でのこれらの粒子の。問題は、の軌道を復元することです$(N+1)$-同じ時間間隔での5番目の粒子。

基礎となる力場は既知であると想定されます。たとえば、粒子の各ペアは逆二乗の法則に従って引き付けられると想定できます。

この問題の正しい一般的に受け入れられている名前は何ですか？この問題は文献に記載されていますか？

Answer 1

システムが分離されている場合、このシステムの重心は一定の（通常はゼロの）速度で移動します $\mathbf{v}_c$： $$ \sum_{i=1}^{N+1}m_i\mathbf{r}_i(t)=M \mathbf{r}_c(t)=M(\mathbf{r}_0+\mathbf{v}_c t) $$ 場合 $\mathbf{r}_i(t)$ すべての人に知られています $i=1,\ldots,N$、その後 $\mathbf{r}_{N+1}(t)$次の方程式から取得できます。\ begin {equation} \ tag {1} \ mathbf {r} _ {N + 1}（t）= \ frac {1} {m_ {N + 1}} \ left（M（ \ mathbf {r} _0 + \ mathbf {v} _c t）-\ sum_ {i = 1} ^ {N} m_i \ mathbf {r} _i（t）\ right）\ end {equation}この方程式には2つの未知のパラメーターが含まれています：重心の初期位置$\mathbf{r}_0$ とその速度 $\mathbf{v}_c$。これらのパラメータは、（おそらく）運動方程式が成り立つことを要求することによって取得できます（相互作用の法則がわかっているため）。

更新：

入手するには $\mathbf{r}_0$ そして $\mathbf{v}_c$ 運動方程式から：

位置エネルギーは次のとおりであると仮定します。 $U=\sum_{i=1}^{N}\sum_{k=i+1}^{N+1}U(|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k|)$。次に、各粒子の運動方程式は次のとおりです。$$ m_i\mathbf{\ddot{r}}_i=-\sum_{k=1}^{N+1}U'(|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k|)\frac{\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k}{|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k|} $$ 最初のパーティクルの場合： $$\tag{2} m_1\mathbf{\ddot{r}}_1=-\sum_{k=1}^{N}U'(|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_k|)\frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_k}{|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_k|}-U'(|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_{N+1}|)\frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_{N+1}}{|\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{N+1}|} $$ 解（1）を式（2）に代入して設定する $t=0$ の方程式につながる $\mathbf{r}_0$。もちろん、方程式は非線形である可能性があり、複数の解を持つことができます。

後 $\mathbf{r}_0$ 見つかった、 $\mathbf{v}_c$ の同じ式（2）から得ることができます $t>0$。