ヘルシュタイン演習：次のような有限群Gの部分群 $|G| \nmid i_G(H)!$ 重要な通常のサブグループが含まれている必要があります。
Aug 17 2020
これは、HersteinによるAbstract Algebra（1996）の「より難しい」問題40です。私はこれを行う方法を理解することができません。非常によく似た投稿を見つけましたが。以下は、質問の逐語的なステートメントです。
場合 $G$ 有限群です、 $H$ のサブグループ $G$ そのような $n \nmid i_G(H)!$、 どこ $n=|G|$、通常のサブグループがあることを証明します $N \neq (e)$ の $G$ に含まれた $H$。
PS私はこれに約1週間立ち往生していて、今はタオルを投げているので、解決策を本当に感謝しますが、この問題を解決できるように、代わりにヒントを教えてください（率直に言って、私は希望をあきらめました。
回答
3 DavidA.Craven Aug 17 2020 at 21:34
仮定 $H$ インデックスがあります $n$ に $G$。の（右、言う）剰余類に対するアクション$H$ 準同型を誘発する $\phi:G\to S_n$このマップの、カーネル、コアの$H$ に $G$は、の最大の正規部分群です。 $G$ に含まれた $H$。したがって、サブグループが存在する場合に限り、コアは重要です。$N$ あなたが必要とするので、 $N$このコアを示します。以来$G/N$ のサブグループと同型です $S_n$、 $|G/N|\mid n!$。だが$|G|\nmid n!$、 したがって $|N|>1$。