非アーベルアハラノフボーム効果をベリー位相として導出する
Michael Berryの導出を非アーベルゲージ場の場合に一般化することにより、非アーベルアハラノフボーム効果を導出しようとしています。$A$。
これまでの私の派生
非アーベルベリー位相を達成するためには縮退した固有空間が必要なので、ヒルベルト空間を $\mathcal{H} = \mathcal{H}_\text{spatial} \otimes \mathcal{H}_\text{internal}$、 どこ $\mathrm{dim}(\mathcal{H}_\text{internal})=N$。波動関数は次の形式を取ります
$$\Psi(x,t) = \psi(x,t) \mathbf{v} ,$$
どこ $\psi(x,t) $ は空間波動関数であり、 $\mathbf{v} $システムの内部状態ベクトルです。私は今、ハミルトニアンを
$$ H(X) = - \frac{1}{2m } (\nabla \mathbb{I} - ie A)^2 + V(X-x)\mathbb{I}$$
どこ $V(X-x)$ は、位置を中心とする小さなボックス内に粒子を閉じ込める閉じ込めポテンシャルです。 $X$、 $A$ 私たちのゲージ場であり、 $\mathbb{I}$ のアイデンティティは $\mathcal{H}_\text{internal}$。このハミルトニアンは、ベリーの導出で使用されたハミルトニアンとほぼ同じですが、これを次の演算子にアップグレードした点が異なります。$\mathcal{H}$ 許可することによって $H$ 内部インデックスも持ち、 $A$ 非アーベルゲージ場になること。
ベリーの論文の結果を一般化すると、 $N$ エネルギーを持つハミルトニアンの固有状態 $E$ の曲率がある領域で $A$ 消えるはによって与えられます
$$ \Psi_j(X;x,t) =P \exp \left( - i \int_X^x A \cdot \mathrm{d} l \right) \psi_E(X;x,t) e_j $$ どこ $P$ パスの順序を表します。 $\psi_E$ はエネルギーを伴う空間波動関数です $E$ そして $e_j$ の基底ベクトルです $\mathcal{H}_\text{internal}$。これは微分演算子として簡単に表示できます$\nabla$ 空間の自由度にのみ作用するため、基底ベクトルごとに1つの固有状態があります。 $\mathbf{e}_j$したがって、非アーベルベリー接続に必要な望ましい縮退。対応するベリー接続はによって与えられます
$$ [\mathcal{A}_\mu]_{ij}(X) = i\langle \Psi_i(X) | \frac{\partial}{\partial X^\mu} | \Psi_j(X) \rangle \\ = i\int \mathrm{d}^n x e_i^\dagger \bar{P} \exp \left( i \int_X^x A \cdot \mathrm{d} l \right) (iA_\mu) P \exp \left( - i \int_X^x A \cdot \mathrm{d} l \right) e_j \psi_E^*(X;x,t) \psi_E(X;x,t)$$
どこ $\bar{P}$は、エルミート共役を取るためのアンチパス順序付け演算子です。アーベルゲージ場の場合$A$、指数関数はすべてを通過して通勤し、ベリー接続はに減少します $\mathcal{A} \propto A$しかし、非アーベル接続の場合にこれを評価する方法がわかりません。
私の問題
複数の情報源は、非アーベルのアハラノフ・ボーム効果がゲージ場のウィルソン線を生み出すことを示唆しています。
$$ U = P \exp \left( -i \oint_C A \cdot \mathrm{d} l \right) $$たとえば、これとこれは、ベリー接続がゲージ場に比例することを私に示唆しています。$\mathcal{A} \propto A$しかし、私の派生から、私は評価する必要がある上記の最後の行で立ち往生しています
$$ \bar{P} \exp \left( i \int_X^x A \cdot \mathrm{d} l \right) A_\mu P \exp \left( - i \int_X^x A \cdot \mathrm{d} l \right)=? $$
パス順序指数の一般化されたベイカー-キャンベル-ハウスドルフ式のようなものはありますか？ $e^X Y e^{-X} = Y + [X,Y] + \frac{1}{2} [X,[X,Y]] + \ldots $？
回答
フラックスを囲むループを一周する場合、波動関数は単一値ではありません。運動量の粒子に対するアーベルBA効果の解決策はないと思います$k$ ソレノイドからの散乱
$$ \psi(r,\theta)= \sum_{l=-\infty}^{\infty} e^{il \theta -(\pi/2)(l-\alpha)}J_{|l-\alpha|}(kr) $$ あなたの形で因数分解することができますが、私は間違っています。
ああ-あなたが何をしているのかわかります。PeterHorvathyが行う非アーベル散乱問題を解決していません。Michal Berryのように、フラックスの周りに運ばれる小さな箱の中の粒子だけに興味があります。したがって、完全な散乱ソリューションを取得することはできません。ベリーが言うように、彼の解決策は${\bf r}$ しかし、ローカルでのみ ${\bf R}$。
単連結領域で書くことができます $A_\mu(x) = U^\dagger(x)\partial_{x^\mu} U(x)$ そしてとして $(\partial_\mu+A)U^{-1} \psi= U^{-1} \partial_\mu\psi$ 書くことができることがわかります $\psi(x)= U^{-1}(x)\psi_0(x-X)$ を中心とするパーティクルボックスの場合 $X$ そして、どこ $\psi_0$はゼロゲージ場の波動関数です。この波動関数の選択では、波動関数は常にその時点で必要なものであるため、ベリー接続はゼロです。断熱ベリー輸送は必要ありません。ゼロ以外の接続を取得するには、波動関数を再定義して、各ボックスで波動関数がまったく同じに見えるようにします。これを行うには、$\psi(x)$ と $U^{-1}(x) U(X)\psi_0$ 中央に $x=X$ 各ボックスの新しい波動関数 $\psi(X)=\psi_0(X)$ 位置に関係なく同じです $X$ボックスの。今、あなたの計算は直接与えます${\mathcal A}_\mu(X) = U^{-1}(X)\partial_{X^\mu} U(X)$。
詳細はこちらです。ボックス内の波動関数を$$ U^{-1}(x) U(X)\psi_0(x-X)\stackrel{\rm def}{=} \langle x |0,X\rangle $$ どこ $\psi_0$正規化されます。次に、ベリー接続は$$ \langle 0,X|\partial_{X^\mu}|0,X\rangle = \int dx \psi_0^\dagger(x-X) U^{\dagger}(X) U(x) \partial_{X^\mu}\Big( U^{-1}(x)U(X) \psi_0(x-X)\Big)\\ =\int dx \psi_0^\dagger(x-X) U^{\dagger}(X) \partial_{X^\mu}\Big(U(X) \psi_0(x-X)\Big) $$ 評価する用語は2つあります。1つは導関数がヒットする用語です。 $U(X)$ そしてそれが当たる場所 $\psi_0(x-X)$。最初は$$ \int dx \psi_0^\dagger(x-X) \partial_{X^\mu} \psi_0(x-X)= - \int dx \psi_0^\dagger(x-X) \partial_{x^\mu} \psi_0(x-X)\\ = \frac 12 \int dx \partial_{x^\mu}|\psi|^2\\ =0 $$ あなたが設定したので $\psi_{0,i} = v_i \psi_0$ どこ $v_i$ は、次のような複素ベクトルの振幅です。 $U$ に作用し、 $\psi$束縛状態である、は実在し、ボックスの境界で消えます。2番目は$$ U^{-1}(X)\partial_{X_\mu} U(X) \int dx |\psi_0|^2\\ = U^{-1}(X)\partial_{X_\mu} U(X)=A_\mu(X). $$ したがって、ベリー接続は、ボックスの中央で評価されるゲージ場にすぎません。