非合理的な証明を研究または作成するのに役立つ特定の数学ツールまたは数学分野はありますか？
一般に、次のような「難しい」定数の非合理性または超越的な証明のようです。 $e,\pi$ または $e^\pi$、に整数があることを示すことに依存しています $(0,1)$。しかし、この矛盾に到達するための一貫した方法はないようです。
ある種の一貫した非合理性の証拠（たぶん1つだけ）は、次の数が非合理的であることを示すために使用できる「BeukersIntegrals」の使用です。 $\ln 2, e, \pi^2, \zeta(2),\zeta(3) $。基本的に、あなたは積分を構築する必要があります$I_n$、 そのような、 $I_n = (a_n\xi+b_n)/d_n$、 どこ $a_n,b_n,d_n$ は整数であり $d_nI_n \to 0$ なので $n$大きくなるため、0から1までの整数が表示されます。しかし、この方法は搾乳されて死に至り、限界に達したと思います。
Aperyの証明のために$\zeta(3)$そのために高速収束級数を使用します。しかし、この証明は、別の定数に複製できないという意味で、「分離」されているようです。この意味で、すべての非合理性の証明は「分離」されているように見えます。言及されたBeukers法を除いて、それらはすべて類似性を欠いています。
非合理的な証明を研究または作成するのに役立つ特定の数学ツールまたは数学分野はありますか？
たとえば、この論文には、超越数論におけるいくつかの一般的および特定の結果といくつかの証明が含まれています。
回答
確かに、いくつかの分野は、例えば、その推測のために、証拠を見つけるために有望です $\zeta(3),\zeta(5),\zeta(7),\ldots$すべて不合理です。特に、組み合わせ論（漸近法）と組み合わせた数論的方法が役立つかもしれません。これは、これらの方法で次の結果を示したZudilinの証明によって裏付けられています。
命題：数字の1つ$ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11)$ 不合理です。
彼はまた、ここでより弱い結果の非常に初等的な証明を持っています。