ヒルベルト空間のボール
私は最近、おそらく難しい質問につながる興味深い事実に気づきました。場合$n$ 自然数です、しましょう $k_n$ 最小の数になる $k$ 半径の開いた球のように $k$ 十分に大きな次元または無限次元の実際のヒルベルト空間では、 $n$ 半径1のペアワイズ互いに素なオープンボール（ヒルベルト空間の次元は、少なくともそれが存在する限り、無関係です。 $n-1$ ボールの中心にまたがるアフィン部分空間で置き換えることができるためです。）明らかに $k_1=1$ そして $k_2=2$、そしてそれは簡単にわかります $k_3=1+\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 2.1547$。興味深い事実は$k_n\leq 1+\sqrt{2}\approx 2.414$ すべてのために $n$、無限次元のヒルベルト空間では、この半径の開いた球には、半径1のペアごとにばらばらの開いた球が無限に含まれているためです[正規直交基底の点を中心とする球を考えてください]。明らかな質問は次のとおりです。（1）何ですか$k_n$？これは知られているかもしれませんが、球充填に関連しているため難しいように見えます。（2）は$k_n$ 厳密に増加する $n$？（3）は$k_n<1+\sqrt{2}$ すべてのために $n$、またはそれらは十分に大きいために等しいですか $n$？（4）それは本当ですか$\sup_n k_n=1+\sqrt{2}$？それは完全に明らかではありません$k_n$ すべてのために存在します $n$、つまり最小のものがあること $k$ それぞれについて $n$、しかしこれを示すいくつかのコンパクト性の議論があるはずです。数字が面白いと思います$1+\frac{2}{\sqrt{3}}$ そして $1+\sqrt{2}$非常に近いですが、ボールの動作は劇的に異なります。この質問は、より小さな次元のヒルベルト空間でも興味深いと思います。$k_{n,d}$ 最小になる $k$ 半径の開いた球のように $k$ 次元のヒルベルト空間で $d$ 含まれています $n$ 半径1のペアワイズ互いに素なオープンボール。 $k_{n,d}$ で安定します $k_n$ ために $d\geq n-1$。とは$k_{n,d}$？（これは事実上球充填の質問なので、これははるかに難しいです$n>>d$。）
回答
表記の便宜上、期待値を書かせてください $\mathop{\mathbb{E}}_i t_i$ 平均を示すために $(\sum_{i=1}^n t_i)/n$。
私があなたの構造を正しく理解しているなら、あなたは半径の互いに素な球を持っています $1$ を中心に $x_i = \sqrt{2} e_i$ 半径のボールに含まれています $1+\sqrt{2}$ を中心に $y = 0$。この構造は、$n$ 通常のシンプレックスの頂点にしっかりと詰め込まれたボールは、位置の点で最適です $x_i$。問題の正確な最適範囲については、次を選択する必要があります$y=\mathop{\mathbb{E}}_i x_i$ 半径を取得するには $$\boxed{k_n = 1+\sqrt{2 (1-1/n)}}.$$
を配置するという主張 $x_i$ レギュラーの頂点で $(n-1)$-シンプレックスと $y$このシンプレックスの重心が最適であることが、これまで多くの異なる状況で何度も証明されてきました。たとえば、フレーム理論では「ウェールズ-ランキンシンプレックス境界」のさまざまな部分文字列で知られる境界によって暗示されます。簡単な直接証明は次のとおりです。
三角不等式により、半径のボール $1+r$ を中心に $y$ 半径のボールが含まれています $1$ を中心に $x_i$ iff $\lVert x-y\rVert \le r$。半径の2つのボール$1$ を中心に $x_i$ そして $x_j$ 互いに素である $\lVert x_i - x_j \rVert \ge 2$。したがって、あなたの問題は最小化することを求めています$1 + \max_i \lVert y-x_i\rVert$ 対象 $\min_{i\ne j} \lVert x_i - x_j\rVert \ge 2$。
二乗距離での作業は簡単です。最大二乗距離$\max_i \lVert y-x_i\rVert^2$ 確かに少なくとも平均です $\mathop{\mathbb{E}}_i \lVert y-x_i\rVert^2$。この平均は次の場合に最小化されます$y$ それ自体が平均です $\mathop{\mathbb{E}}_i x_i$、その場合は等しい $\mathop{\mathbb{E}}_i \mathop{\mathbb{E}}_j \lVert x_i-x_j\rVert^2/2$。各用語$i=j$ 貢献する $0$ この期待に、各用語は $i\ne j$ 少なくとも貢献します $2$、したがって、全体として、この期待は少なくとも $2(n-1)/n$。したがって、最大二乗距離$\max_i\lVert y-x_i\rVert^2$ 少なくとも $2(n-1)/n$ したがって $1+r \ge 1+\sqrt{2(n-1)/n}.$ 前述の最適な構成が、直接計算によって、または引数のすべてのステップで同等性を達成することに注意することによって、この限界を達成することを確認できます。