補完的な部分空間、正誤問題

Question

正しいか間違っているか？

$W_1$、 $W_2$ そして $W_3$ ベクトル空間からの部分空間です $V$。場合$W_1 ⊕ W_2 = V$ そして $W_1 ⊕ W_3 = V$ 、その後 $W_2 = W_3$。

私は実際にこの小さな質問を試験で尋ねてもらい、それは本当だと言いましたが、後でそれは間違っていると言われました。誰かが私に理由を説明してくれるので、それが本当に間違っていることが頭の中で直感的にわかります。そうして初めて、私は反例を思いつくことができます。

前もって感謝します。

Answer 1

$W_2$ そして $W_3$ 同型ですが、同じ部分空間ではない可能性があります。

これを確認する1つの方法は、最初に基底を選択することです。 $B$ の $W_1$。この基底をの基底に拡張するさまざまな方法があります$W_1 \oplus W_2$、したがって、追加のベクトルが追加されます $B$ 異なる部分空間にまたがる可能性があります。

別の方法は、自己同型を想像することです $\alpha$ の $V$、（すなわち $\alpha:V \to V$は可逆線形写像です）。仮定$W_1$ の不変部分空間です $\alpha$。次に$W_1 \oplus \alpha (W_2)=V$ そのようなすべてのために $\alpha$。

Answer 2

それは確かに間違っています！あなたは例えばそれを持っています$$\mathbb R^2=\text{Span}\{(1,0)\}\oplus \text{Span}\{(0,1)\}=\text{Span}\{(1,0)\}\oplus \text{Span}\{(1,1)\},$$ だが $$\text{Span}\{(1,1)\}\neq \text{Span}\{(0,1)\}.$$