評価中 $\left| \frac{\tan40^\circ + \tan100^\circ + \tan160^\circ}{\tan20^\circ\tan40^\circ\tan80^\circ} \right| $
次の式の値を見つけるにはどうすればよいですか? $$ \left| \frac{\tan40^\circ + \tan100^\circ + \tan160^\circ}{\tan20^\circ\tan40^\circ\tan80^\circ} \right| $$
分子を次のように書いてみました $\tan 40^\circ - \tan80^\circ -\tan20^\circ,$ しかし、その後、表現は複雑になりました。
回答
まず第一に(モリーの法則を参照)$$ \tan20^\circ\tan40^\circ\tan80^\circ=\sqrt{3}. $$ 分子は、設定 $x=20^\circ,$ \begin{align} &\tan40^\circ+\tan100^\circ+\tan160^\circ=\\ &\qquad\qquad=\tan(60^\circ-x)+\tan(120^\circ-x)+\tan(180^\circ-x)=\\ &\qquad\qquad= \frac{\tan 60^\circ-\tan x}{1+\tan 60^\circ\tan x}+ \frac{\tan120^\circ-\tan x}{1+\tan120^\circ\tan x}+ \frac{\tan180^\circ-\tan x}{1+\tan180^\circ\tan x}=\\ &\qquad\qquad= \frac{ \sqrt{3}-\tan x}{1+\sqrt{3}\tan x}+ \frac{-\sqrt{3}-\tan x}{1-\sqrt{3}\tan x}- \tan x=\\ &\qquad\qquad= \frac{\sqrt{3}\cos x-\sin x}{\cos x+\sqrt{3}\sin x}- \frac{\sqrt{3}\cos x+\sin x}{\cos x-\sqrt{3}\sin x}- \frac{\sin x}{\cos x}=\\ &\qquad\qquad= -3\cdot\frac{3\sin x\cos^2 x-\sin^3 x}{\cos^3 x-3\sin^2 x\cos x}=\\ &\qquad\qquad=-3\cdot\frac{\sin(3x)}{\cos(3x)}=-3\tan60^\circ=-3\sqrt{3} \end{align}
したがって、最終結果は $$ \left| \frac{\tan40^\circ + \tan100^\circ + \tan160^\circ}{\tan20^\circ\tan40^\circ\tan80^\circ} \right|=\left|\frac{-3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right|=3 $$
@enzotib私はこの問題を解決しようとしてひどい狂気を開発しましたが、すでにあなたの質問に正確に答えました。それでも、この式の最良の近似を見つけることに基づいた私の方法を紹介したいと思います。(これは近似に基づいているため、完全な値を取得することはできません)。計算を単純にして、計算機なしでこの式の値を見つけることができるようにするという考え方です。
分子から始めましょう:
$tan40+tan100+tan160 = tan40-tan80-tan20$ 100-80と160-20は関連する角度のペアだからです。
分母はそのままにしておきます。
次に、これらの角度の接線を見つける必要があります。小角度近似を利用してみましょう。$tanx = x$ラジアンで測定された小さな角度の場合(もちろん、角度が小さいほど、近似は良くなります)。ここで、この近似を適用してtan20°の値を見つけますが、最初に20°をラジアンに変換する必要があります。
20は $\frac{180}{9}$ そして $180$ です $\pi$ ラジアンなので $20° = \frac{\pi}{9} \approx tan20°$ 小さい角度の近似のため。
長くて難しい計算を避けるために、次の値を見つけようとするとよいでしょう。 $\frac{\pi}{9}$。
$\pi \approx 3$、そう $\frac{\pi}{9} \approx \frac{3}{9} \approx \frac{1}{3} \approx 0.33$。
切り捨てられた値から始めていることに注意してください。次に概算が必要になったときに、状況が許せば、切り上げられた値を使用する必要があります。
二倍角の公式でtan40°を見つけましょう:
$tan2x= \frac{2tanx}{1-tan^2x}$
$tan40=\frac{2tan20}{1-tan^220} = \frac{2*0.33}{1-(0,33)^2} = \frac{0.66}{1-0.1} = \frac{0,66}{0,9} \approx \frac{0,7}{0.9} = \frac{\frac{7}{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{7}{9} = 0,77 \approx 0,8$
端数を概算するときと最終値を概算するときの2回切り上げたので、次回は可能であれば切り下げます。
今度は二倍角の公式をもう一度適用して見つけます $tan80$
$tan80 = \frac{2tan40}{1-tan^240} = \frac{2*0.8}{1-(0.8)^2} = \frac{1.6}{1-0.64} = \frac{1.6}{0,36} \approx \frac{1,6}{0,4} = 4 $
0.36を0.4と概算したので、分母が大きくなったので少し切り捨てました。
これで、元の式の値を見つけることができます。
分子:
$tan40-tan80-tan20 = 0,8-4-0,33=-4,33+0,8=-3,53 $
分母:
$tan20tan40tan80 = 0,8*4*0,33 = 3,2*0,33 \approx 3,2*0,3 = 3,2*\frac{3}{10} = \frac{9,6}{10} = 0,96 $
それでは、分数を再構成しましょう。
$\frac{3,53}{0,96}$
この状況にあります。tan20°の値を少し切り捨ててから始め、次にtan40°を2回切り上げ(重い切り上げ)、次にtan80°を少し切り下げました。分子は-tan20°+ tan40°-tan80°です。これは、tan40°が2回過剰に近似され、tan80°が欠陥によってわずかに近似されたため、+ tan40°が過剰値になるはずであることを意味します。次に、値であるtan20°を追加します。欠陥で近似されるため、分子の値が高すぎる必要があります。
ここで分母を分析しましょう。0.8は超過値(tan40°)であり、4は実際の値よりもわずかに低い値であるため、4 * 0,8は少し高すぎますが、ゼロ未満をわずかに乗算しました。値が小さいので少し低くする必要があります+最終値は切り捨てられたので、ごくわずかな超過分しかありません
分子:中高過剰分母:非常に低い過剰バランス
全体:中高超過
分母の超過分が少ないということは、分数が欠陥によってわずかに近似されていることを意味しますが、分子に中高超過分を追加する必要があるため、全体としてこの分数は通常よりも高い値になります。可能であれば、端数を切り捨てようとします。
(式には絶対値があるため、最後の端数の-記号を削除しました)
これらすべての近似を考慮した最終的な答えは次のとおりです。
$\frac{3,53}{0,96} \approx \frac{3,5}{1} \approx 3,5 $
過度の切り上げを補うために、分子がわずかに低く、分子がわずかに大きくなるように概算しました。
ご覧のとおり、値はわずかにずれています。3である必要があるためです。これは、tan40°を処理する際の積極的な切り上げが原因である可能性があります。
はい、これは正確な答えではありません。これは、この式の値を概算するための私の試みです。もちろん、@ enzotibによって投稿された正確な答えの方がはるかに優れています。
それぞれに注意してください $\newcommand{\degree}{{\lower{.5pt}\Large\circ}}x\in\left\{20^\degree,-40^\degree,80^\degree\right\}$ 満たす $$ \begin{align} \sqrt3 &=\tan(3x)\\ &=\frac{3\tan(x)-\tan^3(x)}{1-3\tan^2(x)}\tag1 \end{align} $$ したがって、 $$ \tan^3(x)-3\sqrt3\tan^2(x)-3\tan(x)+\sqrt3=0\tag2 $$ 根の合計はの係数の負であるとVietaは言います$\tan^2(x)$。あれは、$$ \tan\left(20^\degree\right)-\tan\left(40^\degree\right)+\tan\left(80^\degree\right)=3\sqrt3\tag3 $$根の積は定数項の負です。あれは、$$ -\tan\left(20^\degree\right)\tan\left(40^\degree\right)\tan\left(80^\degree\right)=-\sqrt3\tag4 $$ したがって、 $$ \begin{align} \frac{\tan\left(40^\degree\right)+\tan\left(100^\degree\right)+\tan\left(160^\degree\right)}{\tan\left(20^\degree\right)\tan\left(40^\degree\right)\tan\left(80^\degree\right)} &=\frac{\tan\left(40^\degree\right)-\tan\left(80^\degree\right)-\tan\left(20^\degree\right)}{\tan\left(20^\degree\right)\tan\left(40^\degree\right)\tan\left(80^\degree\right)}\\[6pt] &=-3\tag5 \end{align} $$ の絶対値を取るだけです $(5)$。