評価する $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1+e^{2i\phi})^{\alpha} (1+e^{-2i\phi})^{\beta} \, \mathrm{d}\phi$
私は評価する必要があります:
$$ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1+e^{2i\phi})^{\alpha} (1+e^{-2i\phi})^{\beta} \, \mathrm{d}\phi $$
二項定理とアイデンティティを使用して:
$${}_2F_1 \left(\begin{array}{c}a , b \\ c \end{array};x\right) = \frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)} \int_{0}^{1} t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-xt)^{-a} \, \mathrm{d}t$$
したがって、最初に二項定理を使用すると、次のようになります。
\begin{align*} &\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sum_{k=0}^{\alpha} \binom{\alpha}{k} e^{2i\phi k} \sum_{k=0}^{\beta} \binom{\beta}{k} e^{-2i\phi k} \, \mathrm{d}\phi \\ &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sum_{k=0}^{\alpha} \sum_{l=0}^{\beta} \binom{\alpha}{k} e^{2i\phi k} \binom{\beta}{l} e^{-2i\phi l} \, \mathrm{d}\phi \\ &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sum_{k=0}^{\alpha} \sum_{l=0}^{\beta} \binom{\alpha}{k} \binom{\beta}{l} e^{2i\phi(k-l)} \, \mathrm{d}\phi \end{align*}
しかし、ここからは、どのように進めるか、あるいはアイデンティティをどのように使用するかがわかりません。ヒントはありますか?
回答
場合 $\beta$ は非負の整数であり、 $z=e^{2i\phi}$ これは$$\oint_{|z|=1}(1+z)^{\alpha+\beta}\frac{dz}{2iz^{\beta+1}}=\pi[z^\beta](1+z)^{\alpha+\beta}=\pi\binom{\alpha+\beta}{\beta}=\frac{\pi\Gamma(\alpha+\beta+1)}{\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\beta+1)}.$$更新:@Iridescentは、複雑に一般化する方法を指摘しています $\beta$。積分は$2^{\alpha+\beta-1}\int_0^{\pi/2}\cos^{\alpha+\beta}\phi\cos[(\alpha-\beta)\phi]d\phi$、被積分関数の虚数部が $0$ オン $[-\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{\pi}{2}]$。古い質問はこれが確かにであることを証明します$\tfrac{\pi\Gamma(\alpha+\beta+1)}{\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\beta+1)}$。