一貫性のないシステムは数学的に興味深く/有用でしょうか？
この質問へのトップアンサーによると：
数学をしていると、正式に表現したいオブジェクトのアイデアがよくあります。これは概念です。次に、この概念を説明する公理を作成し、これらの公理が自己矛盾していないかどうかを確認します。それらがそうでない場合（またはそれらがそうであることを証明できなかった場合）、私たちはそれらを扱い始め、それらは定義になります。数学者はこの概念に導かれますが、彼らはその定義に取り組んでいます。概念と定義が一致することはめったになく、あなたは私たちの[数学者]の直感が私たちにそれがあるべきであると正確に言うものである数学的対象を持っています。
私たちの数学的直観を形式化することは、特に私たちの直観自体がしばしば矛盾し、あらゆる種類の不可解な検証パラドックスにつながるため、トリッキーなビジネスのようです。さらに、ゲーデルは、それが一貫して完全な両方である方法で行うことができないことを示しているので、我々は時に行う非矛盾した形式化を見つけ、我々は完全性を犠牲にする必要があります。
しかし、代わりに一貫性を放棄した場合はどうなりますか？一貫性のあるシステムではなく一貫性のないシステムを使用すると、（多くの場合一貫性のない）直感をより現実的に形式化できる可能性があります。
残念ながら、爆発の原理は、すべてのステートメントが真と偽の両方であるため、そのようなシステムは基本的に無意味であることを伴うようです。ただし、これを回避する方法があるかもしれません。たとえば、爆発の原理を防ぐ方法で論理的推論のルールを制限することができます。または、すべての証明を特定の長さ未満に制限することもできます（人が同時に頭の中で持ちこたえることができる直感的なステップの数が限られていることに対応します）。
これは以前に試したことがありますか？それは人間の数学的直観のモデルとして啓発的/有用でしょうか？
注：数学的な観点ではなく哲学的な観点から、多くの宗教/思考システムは、人間の直感に内在する矛盾に対応するために一貫性を犠牲にして喜んでいます。禅仏教はおそらく最もよく知られている例であり、道教はそれほど極端ではないにしても同様のことをします。私はまた、GKチェスタートンの本「正統派」を読んでいました。彼は彼の信念体系（彼はクリスチャンです）を説明しています。彼は論理と理性を完全に遵守すると狂気と不条理な結果につながり、矛盾の豊かさを捉えることができないと主張しています。思考と現実。
回答
はい、そのようなシステムは実際に調査されています-重要な用語には「矛盾許容論理」と「相関論理」が含まれます。Re：情報源、Chris Mortensenはこのトピックに関する要約記事と本を書いていますが、後者にはいくつかの問題があります（ここを参照）。
ここでのもう一つの重要な用語は「真矛盾主義」です。非常に大まかに、paraconsistentなど論理がparadox-ある寛容なAロジックで理論のために、単なる矛盾がつまらないことを意味するものではないという意味で。真矛盾主義は、真の矛盾があるという哲学的な立場です。グレアム・プリーストはこのトピックについて多くのことを書いています（例えばここを参照）。
とは言うものの、私はこの方法で最初の不完全性定理を回避しようとするもっともらしい試みを実際には知りません。計算可能で公理化可能な矛盾許容論理の理論の自然な候補はありません。 $\mathsf{Q}$サブセオリーとして（たとえば）、完全であり、おそらく自明ではありません。ただし、弱い意味で2番目の不完全性定理を回避することはできます。Mortensenの本では、古典的な1次を含む特定の関連性演算について説明しています。$\mathsf{PA}$ しかし、その非自明性は $\mathsf{PA}$-証明可能。（非自明性はこの文脈で一貫性を意味しないので、これは実際には2番目の不完全性定理に違反しません。）もう1つの注目すべきアプリケーションは、素朴集合論を理解するための矛盾許容論理の機能です。たとえば、ここを参照してください。