位相空間における相対的コンパクト性（参照要求）
動機とコンテキスト：サブセットの場合$S$ 距離空間の $(M,d)$、以下は、分析における2つの非常に古典的なコンパクト性の結果です。
1a）セット$S$ の各シーケンスが $S$ の点に収束するサブシーケンスがあります $S$。
1b）セット$S$ で比較的コンパクトです（つまり、コンパクトなクロージャーを持っています） $M$ の各シーケンスが $S$ の点に収束するサブシーケンスがあります $M$。
ここで、サブセットに関する次の類似のクレームについて考えてみます。 $S$ 位相空間の $X$：
2a）セット$S$ 各ネットが $S$ のポイントに収束するサブネットがあります $S$。
2b）セット$S$ で比較的コンパクトです $X$ 各ネットが $S$ のポイントに収束するサブネットがあります $X$。
アサーション2a）も、ポイントセットトポロジの古典的な結果です。一方、含意」$\Leftarrow$「2b）では、一般的には成り立たない。
より正確には、次のことが当てはまります。
（I）の場合$X$ ハウスドルフではない、それは起こるかもしれない $S$コンパクトですが閉じていません。また、コンパクトではありません。これは、2b）が一般的に失敗することを示しています。
（ii）もう少し興味深いことに、2b）はハウスドルフ空間でも失敗する可能性があります。確かに、私たちが選択した場合、反例を構築することができます$S$上半平面のハーフディスクトポロジで、1つの追加ポイントを持つオープンハーフディスクになります。このトポロジは、たとえば、Steen andSeebachの「CounterexamplesinTopology（1978）」の例78で説明されています。（このスペースが2bの反例になるとは明示的には述べられていません）が、それを理解するのは難しくありません。）
（iii）の場合$X$ ハウスドルフとトポロジーは $X$均一な構造によって誘導されます（同等に、$X$は完全に規則的です）、2b）は確かに成り立ちます。
アサーション（iii）を示すことは非常に難しいことではありませんが、完全に明白でもありません。さらに、（iii）は作用素論で非常に役立つ場合があります。したがって、引用のために、次の質問が発生します。
質問（参照要求）：（ iii）が明示的に述べられ、証明されている参照を知っていますか？
関連する質問： この質問は大まかに関連しています。
回答
Eric SchechterによるHandbookof Analysis and its Foundations（セクション17.15）を参照してください。
私の推測では $T_3$すでに十分です。現時点では、モノグラフFletcher、Peter and Lindgren、William F.、準均一空間、M。Dekker、ニューヨーク、バーゼル1982にアクセスできませんが、これには完成と準コンパクト性に関するかなりの結果が含まれています。おそらく、相対的なコンパクト性との関係についての結果も含まれています。