自明でない有限可解群には、各素数約数の素数冪指数の部分群がありますか？

Aug 18 2020

のすべての最大サブグループが $G$ 素数冪指数の場合 $G$ 自明ではない有限可解群です。

私の質問は：各素数についてそれを証明できますか$r\in\pi(G)$ の最大サブグループが存在します $G$ インデックスの力 $r$？

私はそれを証明しようとしましたが、私は自分の証明に誤りがあることに気づきました。これが私の試みです：

定義する $$\pi^*:=\{r\in\pi(G)\mid~\mbox{There is no maximal subgroup }H\mbox{ of }G\mbox{ such that }|G:H|\mbox{ is a power of }r\}.$$ 私たちはそれを主張します $\pi^*$空のセットです。と仮定する$\pi^*$空ではありません。その場合、最大部分群のインデックスは、正確に素数冪です。$\pi(G)\setminus\pi^*$。シローを取る$q$-サブグループ $S_q$ それぞれについて $q\in\pi(G)$。にとって$p\in\pi(G)\setminus\pi^*$、任意の最大サブグループを取ります $M$ の $G$ そのような $|G:M|$ の力です $p$。我々は持っています$$\left|\prod_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q\right|_p=|G|_p>|M|_p.$$ それは $\prod\limits_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q$ の最大サブグループに含まれていません $G$。だが$\prod\limits_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q$ に適切に含まれています $G$、これは矛盾です。

私の間違い：$\prod\limits_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q$ 必ずしものサブグループではありません $G$、だから実際には矛盾はありません。

アイデアをいただけますか？たぶん私はそれを別の方法で証明すべきだと思います。どんな助けでも大歓迎です。ありがとう！

回答

6 DavidA.Craven Aug 18 2020 at 16:49

これは可解群に関するホールの定理です。それは述べています：

有限群は、それぞれについて、次の場合にのみ溶解します。 $p\mid |G|$、が存在します $p'$-サブグループ $H$ そのインデックスはの力です $p$。

サブグループ $H$ そのような $|H|$ そして $|G:H|$互いに素が呼ばれているホールサブグループ、および場合$\pi$ 次のような素数のセットです $p\in \pi$ 分水界 $|G|$ それが分裂する場合にのみ $|H|$、その後 $H$ はホールです $\pi$-サブグループ。

ヒントなしでこれを証明するのは少し難しいです。お気に入りの教科書で調べるか、以下の概要に従って一方向に進んでください。しましょう$\pi$ 素数のセットであり、私たちはホールの存在を証明することを目指しています $\pi$-のサブグループ $G$。

しましょう $K$ の最小の正規部分群である $G$。場合$K$ は $\pi'$-サブグループすると、すべてが完了します。
場合 $K$ は $p$-のサブグループ $p\in \pi$、次に、シューアツァッセンハウスの定理を使用してホールのプリイメージを作成できます。 $\pi$-のサブグループ $G/K$。

あなたはここで完全な証拠を見つけることができます、p.28。

4 JCAA Aug 18 2020 at 16:49

はい、素数のすべてのセットについて、有限可解群には、次数がこれらの素数によってのみ分割可能であり、インデックスがそれらのいずれによっても分割できないホール部分群が含まれています。ここで、グループの順序を1つだけ分割するすべての素数のセットを取ります。対応するホールサブグループが必要です。