条件付き確率を2回適用する

Question

全確率の法則により、私はそれを知っています $P(A) = P(A|C)P(C) + P(A|C^c)P(C^c)$。同じ論理を適用して、私はそれを言いたいです$$P(A|B) = P(A|B,C)P(C) + P(A|B,C^c)P(C^c)$$ ただし、確率を拡張すると、LHSがRHSと一致しないため、この結論が正しくないことはわかっています。

どうすれば適切に拡張できますか $P(A|B)$ 別のイベントの条件付けによって、 $C$？

Answer 1

$$ P(A|B) = \frac{P(A,B)}{P(B)} = \frac{P(A,B,C) + P(A,B,C^c)}{P(B)} = \frac{P(A|B,C)P(B,C) + P(A | B, C^c)P(B,C^c)}{P(B)} $$

$$ = P(A|B,C)P(C|B) + P(A | B, C^c)P(C^c|B) $$