準同型 $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$

Question

これは単なる表記の乱用だと思いますが、確かにしたいと思います。

群準同型を考慮する $\phi: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$、 どこ $\mathbb{Z}$ 整数加算下の群であり、 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$、および定義 $\phi(x) = x \text{ (mod $3$)}$。

表記 $x \text{ (mod $3$)}$私にはなじみがありません。この関数が伝えようとしているのは、「残りの部分を取る」ことです。$x$ で割るとき $3$、 "しかし、私はそれがこのように書かれているのを見たことがありません。これが実際に準同型であるという証拠は似ています：\ begin {align *} \ phi（x + y）=（x + y）\ text {（mod$3$）} = x \ text {（mod $3$）} + y \ text {（mod $3$）}。\ end {align *}表記を乱用するだけでなく、$\mathbb{Z}_3$、 我々は持っています $\overline{a + b} = \overline{a} + \overline{b}$、したがって、治療しています $x$ そして $y$整数（同値類の要素）としてではなく、クラス自体の代表として。繰り返しになりますが、おそらく同値類にマッピングしているので、マッピングは次のように扱うことができます。$x \mapsto [x]$。

私の質問は、これを正しく解釈していますか？これは表記の乱用ですか？これを書くためのより良い方法はおそらくありますか？

Answer 1

コンピュータ科学者やソフトウェアエンジニアは、「$m \text{ mod } n$「数学者が「最小の留数」と呼ぶかもしれないもののために $m$ モッド $n$。 "ここで、本当に形式的に言うと、"最小残差 "は全射の（集合論のみで、準同型ではない）セクションです。 $$ \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} $$ 同値類を取る $[a]$ 最小の非負の整数に $b$ これは $a$ モッド $n$。

この表記法の乱用は、人々が互いに混乱する原因にはなりますが、害を及ぼすことはめったにありません。たとえば、「2 mod 4 + 3 mod4は5mod 4に等しい」というのは本当ですか？

Answer 2

だからまず第一に $x\in\mathbb{Z}$ そして $n\in\mathbb{Z}, n>1$ その後、「$x\text{ mod }n$"は、あなたが正しく指摘したように、 $x$ で割ったとき $n$。

今 $\mathbb{Z}_n$ 文字通り次のように定義することができます（そしてしばしばそうです） $\{0,1,\ldots,n-2,n-1\}$、つまり、間のすべての整数のセット $0$ そして $n-1$。次に、定義します

$$x\oplus y:=(x+y)\text{ mod n}$$

どこ "$x+y$"は標準の整数加算です。これは、で明確に定義された二項演算です。 $\mathbb{Z}_n$ そしてそれは変わります $(\mathbb{Z}_n,\oplus)$アーベル群に。そして実際にはグループエピモルフィズムがあります

$$\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}_n$$ $$x\mapsto x\text{ mod }n$$

そのエピモルフィズムの核は次のとおりであることが示されます。 $n\mathbb{Z}$ したがって、最初の同型定理によって、 $\mathbb{Z}_n$ グループは実際には同型です $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$。したがって、「$x\text{ mod }n$「と」$x+n\mathbb{Z}$" およびその逆。

そして、非常に多くの著者がこれらの記号を同じ意味で使用しています。私は同意しますが、これは混乱を招く可能性があります。