ジェネリック拡張の要素のランクとその名前のランク
私は時々いくつかの議論で使用される次の事実を見ます：
仮定します $M[G]$ の一般的な拡張です $M$ 強制によって $\mathbb P$ そして、 $x\in M[G]$ ランクがあります $<\gamma$、 どこ $\gamma$ ランクより上のいくつかの極限序数です$(\mathbb{P})$。それから名前があります$\tau\in M^\mathbb{P}$ そのような $\tau_G=x$ そして $\tau$ ランクがあります $<\gamma$。
たとえば、この事実は、補題7.1の証明の最初の段落の終わりに、地上モデルが定義可能であることを証明するために、レイツの地上公理で使用されています。
しかし、これを証明する方法がわかりません。助けていただければ幸いです。
編集後に追加：さらに次のことを想定した場合 $\gamma$ は $\beth$-不動点（同等に、 $H_\gamma=V_\gamma$。これは、上記の補題7.1の特殊なケースにも当てはまります）、次の議論が機能すると思います。
ランクの帰納法によって、 $x\in (H_\gamma)^{M[G]}$、それから名前があります $\sigma\in H_\gamma\cap M^{\mathbb{P}}$ そのような $\sigma_G=x$。したがって、これがより低いランクのすべてのセットに当てはまると仮定します。$x$。したがって、それぞれ$y\in trcl(x)$ 名前があります $n(y)$ ランクが $\gamma$。これらの名前をすべて集めて、$z=\{n(y)\mid y\in trcl(x)\}$。以来$x\in (H_\gamma)^{M[G]}$、私たちは知っています $|trcl(x)|=\kappa<\gamma$。これはまた、$|z|=\kappa$。前述のカーディナリティの主張はすべて、$M[G]$、および全射を修正します $f:\kappa\to z$ に $M[G]$。
しましょう $\rho$ の名前になります $x$ そして $\tau$ の名前になります $z$。真実の補題によって、私たちはいくつかを修正するかもしれません$p\in G$ そのような $$ p\Vdash \rho\in (H_\gamma)^{M[G]} \wedge \text{ every element of } \rho \text{ has a name of rank } <\gamma \\ \wedge \tau \subseteq \check{(H_\gamma)} \wedge\dot{f}:\kappa \to \tau \text{ is a surjection} $$
次に、下位の名前の定義に進みます $\sigma$ ために $x$。それぞれについて$\alpha<\kappa$、
$$ X_\alpha = \{ q \in \mathbb{P} \mid \ (\exists \pi \in H_{\gamma}\cap M^{\mathbb{P}})~ q \leq p \wedge q \Vdash (\dot{f}(\alpha)=\check{\pi} \wedge \pi \in \rho)\} $$ 言い換えると、 $X_\alpha$ 以下の条件を収集します $p$ の要素（の評価）を強制します $z$ の要素になる $x$。
今それぞれのために $X_\alpha$、最大の反鎖を修正 $A_\alpha$それが交差すること。それぞれについて$\alpha<\kappa$ そして $q\in X_\alpha\cap A_\alpha$、いくつかあります $\mathbb P$-名前 $v(\alpha,q)$ そのような $q\Vdash v(\alpha,q)\in\rho\wedge \dot f(\alpha)=\check{v(\alpha,q)}$。これで名前を定義できます$\sigma$ することが $$ \sigma = \{(\pi,q)\mid (\exists\alpha)( \alpha < \kappa \wedge q \in X_{\alpha} \cap A_{\alpha} \wedge \pi = v(\alpha,q))\} $$ 次に $\sigma$ の名前です $H_\gamma\cap M^{\mathbb P}$、および $p\Vdash \sigma=\rho$。
2番目の編集：上にスケッチした特殊なケースには重複（？）があるようです。それでも、引用されたより強力な主張を主張する方法を知りたいと思います。
回答
やり直します $V$ の代わりに $M$。次の証明がうまくいくと思います$\mathsf{ZFC^-}$ （すなわち、 $\mathsf{ZFC}$ パワーセットなし、コレクションあり、秩序の原則あり） $\mathcal{P}(\mathbb{P})$。（特に、それは持ちこたえます$M=H_\theta$ 大規模なレギュラー用 $\theta$。）
補題。しましょう$x\in V^\mathbb{P}$ そのような名前になります $\operatorname{rank}x\ge\operatorname{rank}\mathbb{P}$ そして $\gamma$ 序数よりも大きい $\operatorname{rank}\mathbb{P}$。場合$p\Vdash \operatorname{rank}x=\check{\gamma}$、それからあります $\tau\in V^\mathbb{P}$ そのような
$p\Vdash x=\check{\tau}^{\dot{G}}$、および
$\operatorname{rank}\tau\le\gamma_0+3n$、 どこ $\gamma=\gamma_0+n$ いくつかの制限のために $\gamma_0$ そして $n\in\omega$。
序数に関するいくつかの表記法を紹介しましょう：各序数について $\alpha$、 $\alpha^*$ そして $\alpha^@\in\omega$ そのような序数である $\alpha=\alpha^*+\alpha^@$ そして $\alpha^*$ 極限順序数です。
のランクで帰納法を使用します $x$。一般性を失うことなく、私たちは
もし $(y,q)\in x$ その後 $q\le p$、および
（下向きの近さ）if $(y,q)\in x$ そして $r\le q$、その後 $(y,r)\in x$
交換することにより $x$ に $$x'=\{(y,r)\mid \exists q (y,q)\in x \text{ and } r\le p,q\}.$$ 以来 $\operatorname{rank} x\ge\operatorname{rank}\mathbb{P}$、 我々は持っています $\operatorname{rank}x'\le\operatorname{rank}x$。
次にそれぞれについて $(y,q)\in x$、 $q\Vdash \operatorname{rank}y<\check{\gamma}$。最大の反鎖を見つける$A_{y,q}$ 未満 $q$ 値を決定するか $\operatorname{rank}y$; つまり、$r\in A_{y,q}$ 次に序数があります $\beta_{y,q,r}<\gamma$ そのような $r\Vdash \operatorname{rank}y=\check{\beta}_{y,q,r}$。
帰納的仮説により、私たちは見つけることができます $\tau_{y,q,r}$ そのような $r\Vdash y=\tau_{y,q,r}^{\dot{G}}$ そして $$\operatorname{rank}\tau_{y,q,r}\le\beta_{y,q,r}^*+3\beta_{y,q,r}^@.$$ 今取る $$\tau=\{(\tau_{y,q,r},r)\mid (y,q)\in x\text{ and }r\in A_{y,q}\}.$$ その後、私たちは証明することができます $p\Vdash x=\check{\tau}^{\dot{G}}$。のランクをチェックするために残っています$\tau$。私たちはそれを見ることができます$$\operatorname{rank}(\tau_{y,q,r},r)\le\max(\operatorname{rank}r, \beta_{y,q,r}^*+3\beta_{y,q,r}^@)+2$$
ケース1。 $\gamma$ が極限順序数である場合、右側は厳密に $\gamma$。したがって、$\operatorname{rank}\tau\le\gamma$。
ケース2。 $\gamma=\gamma_0+n$ いくつかの制限のために $\gamma_0$ そして $1\le n<\omega$、その後 $$p\Vdash \forall y\in x (\operatorname{rank} y\le\check{\gamma}_0+\check{n}-1).$$ したがって、対応する $\beta_{y,q,r}$ 満たす $\beta_{y,q,r}\le \gamma_0+n-1$、 したがって $\tau_{y,q,r}$ 満たす $$\operatorname{rank}\tau_{y,q,r}\le\gamma_0+3(n-1).$$ 残りの議論は直接的なものであり、 $\operatorname{rank} \tau\le\gamma_0+3n$。