陰関数の単調性を証明する
私はベータ関数の特性を研究していて、次の同等性に遭遇しました。
$$ \int_{0}^1 \lambda^{\alpha}(1-\lambda)^{\alpha-1}\frac{1}{1+e^{(2\lambda-1)k}}\text{d}\lambda = \text{B}(\alpha+1,\alpha+1), $$
どこ $\text{B}$ ベータ関数の略です。
私はすべてのためにそれを示すことができます $\alpha>0$、ユニークなものがあります $k \in (0,\infty)$上記の平等が成り立つ。私が興味を持っているのは、グラフをプロットすると$k$ の面では $\alpha$ Wolframでは、 $k$ 実際には厳密に減少する関数wrtです $\alpha$。
上記の主張を証明することはできませんでしたが、私にはいくつかの直感があります。部分積分すると、上記の等式は次のようになります。
$$ \int_{0}^1 \lambda^{\alpha}(1-\lambda)^{\alpha}[\frac{2k}{2+e^{(2\lambda-1)k}+e^{(1-2\lambda)k}}-1]\text{d}\lambda = 0. $$
そうするとき $\alpha$ 大きい、用語 $\lambda^{\alpha}(1-\lambda)^{\alpha}$ で支配的になります $\lambda=1/2$。したがって、$2k/4$ 近くにいる必要があります $1$同じように。いつ$\alpha$ 小さいです、 $k$ よりも大幅に大きくする必要があります $2$ 部分を補うために $\lambda$ 離れて $1/2$。
ヒント/提案はほとんどありがたいです。
回答
しましょう $R\left(a,k\right)=\int_{0}^{1}\lambda^{a}\left(1-\lambda\right)^{a-1}\frac{1}{1+e^{\left(2\lambda-1\right)k}}-\text{Beta}\left(a+1,a+1\right)$。に適用される陰関数定理によって$R\left(a,k\right)=0$ 我々は持っています
$\frac{dk}{da}=-\frac{\frac{\partial R}{\partial a}}{\frac{\partial R}{\partial k}}<0$
なぜなら $\frac{\partial R}{\partial a}<0$ そして $\frac{\partial R}{\partial k}<0$。これが明らかかどうか教えてください。