からの番号 $1,\frac12,\frac13,…\frac{1}{2010}$ 書かれていて、任意の2つ $x,y$ 取られ、私たちは交換します $x,y$ ただ $x+y+xy$
これは本当に良い質問です!(誰もが数学を愛するようにする質問に遭遇しました、これは私のものです:)
一連の数字を書く $$1,\frac12,\frac13,..........,\frac{1}{2010}$$
これで、任意の2つの数字を選択できます $x$ そして $y$ これらの2つの数字を1つの数字に置き換えます $x+y+xy$
このプロセスは、1つの番号だけが残るまで繰り返され、最後の番号を見つけます。
これは私を困惑させました!どうすればいいのか真剣にわからない。どこから始めても同じ数字になるのはおもしろくないですか?それを解決する方法についてのすべてのヒントは大歓迎です
回答
これは不変の質問です:関数を想像してください $f(x_1,...,x_m)$ (どこ $m$ は特定の数の引数であり、 $x_i$ 次のプロパティを持つすべての実数です): $f(x_1,...,x_m)$ これらのいずれか2つを取っても変化しません $x_i,x_j$ そしてそれらをただ $x_i+x_j+x_ix_j$。
では、どうなるのでしょうか。番号が1つしかない場合$N$ その後、ボード上に残った $f(x_1,...,x_m) = f(N)$、 そう $N = f^{-1}(f(x_1,...,x_m))$ ただし $f(x_1,...,x_m)$ プレイメージは1つだけです。
この関数のヒント $f$ から来た $(1+x)(1+y)=1+(x+y+xy)$、だから:追加のようなもの $1$ あなたが持っているすべての数に、そしてこれらの結果を掛け合わせますか?
そのような関数がその仕事をすることは明らかです!その場合、追加する必要があります$1$それぞれの数に、そしてそれらすべてを掛けます。それは掛け算のようなものです$\frac{2}{1}, \frac 32, \frac 43 ,...\frac {2011}{2010}$、これは $2011$。
さて、ボード上の最後の数字が何であれ、1プラスは $2011$、そうです $2010$。
操作 $x*y=x+y+xy=(x+1)(y+1)-1$ 実数は結合法則であるため、結果はステップの順序に依存せず、次のようになります。 $$(1+1)(1+1/2)...(1+1/2010)-1=2011!/2010!-1=2010$$
あなたが選ぶとしましょう $\frac1m$ そして $\frac1n$ 最初のターンで、それらをに置き換えます $\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\right)-1$
(ご了承ください $x+y+xy=(x+1)(y+1)-1$)。
次のターンでは、2つの数字を選ぶかもしれません $\frac1a$ そして $\frac1b$、および置き換えられた番号は、上記のようになります。 $a,b$ 交換 $m,n$。ただし、前の手順で取得した新しい番号を選択した場合、つまり$\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\right)-1$ と元の番号の1つ $\frac1a$、次にそれらを次のように置き換えます $\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\frac{a+1}a\right)-1$。
中間ステップに記入して、任意のステップで置き換えられた番号が次のようになることを帰納法で示します $\left(\prod_j\frac{a_j+1}{a_j}-1\right)$、最終的な答えが $$\dfrac{2011}{2010}\dfrac{2010}{2009}\cdots \dfrac{2}{1}-1=2010$$。