継続的に微分可能の正しい定義は何ですか？
仮定します $V$ そして $W$ バナッハ空間です、 $U\subset V$ 開いている、そして $F:U\to W$微分可能関数です。次に、の導関数$F$ 地図です $$ DF:U\to B(V;W) $$ どこ $B(V;W)$ 連続線形写像のバナッハ空間です $V\to W$。
私たちはそれを言います $F$あるクラスの $\mathcal{C}^1$ ある時点で $x_0\in U$ マッピングの場合 $$ U\ni x\mapsto DF(x) \in B(V;W) $$ で継続しています $x_0$; 私たちはそれを言います$F$あるクラスの $\mathcal{C}^1$ オン $U$ もし $F$ クラスのものです $\mathcal{C}^1$ の各ポイントで $U$。
場合 $X$ バナッハ空間の任意のサブセットです $V$ そして $f:X\to W$ は地図なので、 $f$あるクラスの $\mathcal{C}^1$ オン $X$ オープンサブセットが存在する場合 $U$ の $V$ どこ $X\subset U$ と機能 $F:U\to W$ クラスの $\mathcal{C}^1$ オン $U$ どこ $F|_X=f$。（非公式に、私たちは拡張することができます$f$ それがクラスであるオープンセットに $\mathcal{C}^1$。）
関数については、この回答を参照してください$f$これは、単一の点でのみ連続的に微分可能です。つまり、$g(t)=t^2\sin(1/t)$ にとって $t\in\mathbb{R}$ 次に関数 $$ f(t) = \sum_{n\geq 1} \frac{g(t-1/n)}{2^n} $$ で継続的に微分可能です $t=0$。しかしながら、$f$ 原点に任意に近い不連続性があるので $f$ クラスになれません $\mathcal{C}^1$ を含む任意の開集合 $0$。
あれは、 $f$ クラスの関数です $\mathcal{C}^1$ で $0$、 だが $f$ ではありません $\mathcal{C}^1$ オン $\{0\}$。
これは私には正しくないようです。もちろん、私たちが遭遇する関数がこのように動作することは「典型的」ではありません。しかし、この例はまだ私を悩ませています。私たちは何ができる？これが起こらないように、上記の定義を少し変更できますか？私が参照した答えはどういうわけか間違っていますか？（私は彼が述べた結果を証明できませんでした...）
回答
私の知る限り、関数は $\mathcal C^1$ セットで $X\subseteq V$ もしそれが $\mathcal C^1$ の内部に $X$ そして $\mathrm Df$ 継続的に拡張できます $X$。この定義では、関数の例は次のようになります。$\mathcal C^1$ オン $\{0\}$、このセットの内部は空であり、すべての機能は空虚であるため $\mathcal C^1$空のセットで。しかし、この定義は、内部が空でないセットでのみ実際に興味深いものです。満たされないセットでのこの定義の動作$X=\overline{X^\circ}$、 お気に入り $\{0\}$、は面白いアーティファクトです。また、それは次のような機能をもたらします$\mathcal C^1$ オン $\{0\}$、 だがしかし $\mathcal C^1$ に $0$、だからあなたが言及したものの反対のジレンマ。
これらの理由から、一般的には、オープンセットまたはオープンセットのクロージャに制限し、心配しないことが最善です。 $\mathcal C^1$-単集合の性質。とにかく、それは大きな洞察をもたらさないでしょう。次に、定義は次のようになります。
しましょう $U\subseteq V$開かれている。次に$\mathcal C^1(U,W)$ 連続的に微分可能なすべての関数のセットです $U\to W$、および $\mathcal C^1(\overline U,W)$ すべての連続関数のセットです $f:\overline U\to W$ そのために $f\vert_U\in\mathcal C^1(U,W)$ そのような $\mathrm D(f\vert_U)$ 継続的に拡張できます $\overline U$。