期待値計算に関する質問[重複]

Aug 18 2020

しましょう $X$ そして $Y$ 2つの確率変数になります。

私は本が述べていることに気づきます $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ 証拠なし。

最も単純なケースの場合、証明は次のようになると思います。- $E(X + Y) = \sum p_i (X + Y) = \sum (p_i X + p_iY) = \sum (p_i X) + \sum (p_i Y) = E(X) + E(Y)$

しかし、Yに対応する確率が次の場合はどうなりますか $q_i$ そして $p_i \ne q_i$ 一般に?

回答

1 tommik Aug 18 2020 at 15:59

:簡単にするために、私は書きます$f(x,y)$ の代わりに $f_{XY}(x,y)$。次の証明は連続の場合ですが、同様の証明は離散の場合または一般的にあります

$$\mathbb{E}[X+Y]=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(x+y)f(x,y)dxdy=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x,y)dxdy+\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}yf(x,y)dxdy=$$

$$\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}f(y|x)dy}_{=1}+\int_{-\infty}^{+\infty}yf(y)dx\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}f(x|y)dx}_{=1}=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y]$$

編集:離散ケース

$$\mathbb{E}[X+Y]=\sum_x\sum_y (x+y)p(x,y)=...$$