鎖複体の射影解像度の構築

Dec 02 2020

私は鎖複体のカテゴリーで射影解像度を構築しようとしています

$\dots \to 0 \to M \to 0 \to \dots$

の射影的解決の観点からこれを行うことは可能であるように思われます $M$ しかし、私は完全に立ち往生しています。

射影チェーン複体は正確に分割され、射影によって形成されることを知っています。したがって、解像度を半平面の二重複体と考えると、 $M$ の射影的解決でなければなりません $M$

私はのトリックを使おうとしていました $0 \to P \to P \to 0$ 常に射影複合体です $P$ 射影的ですが、それを私たちの複合体の上に置いても、必ずしも正確になるとは限りません。

回答

4 JeremyRickard Dec 03 2020 at 04:49

場合 $$\dots\to P_2\to P_1\to P_0 \to M\to0$$ の射影解像度です $M$ モジュールとして、次に $\dots\to0\to M\to0\to\dots$ 次の形式の鎖複体のカテゴリで(射影鎖複体による)解像度があります(微分を理解させます):

$\require{AMScd}$ \ begin {CD} @。\ vdots @。\ vdots @。\ vdots @。\ vdots @。\ vdots @。\ vdots @。\\ @。@ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\\ cdots @ >>> 0 @ >>> P_2 @ >>> P_2 \ oplus P_1 @ >>> P_1 \ oplus P_0 @ >>> P_0 @ >>> 0 @ >>> \ cdots \\ @。@ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> P_1 @ >>> P_1 \ oplus P_0 @ >>> P_0 @ >>> 0 @ >>> 0 @ >>> \ cdots \\ @。@ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> P_0 @ >>> P_0 @ >>> 0 @ >>> 0 @ >> > 0 @ >>> \ cdots \\ @。@ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> M @ >>> 0 @ >>> 0 @> >> 0 @ >>> 0 @ >>> \ cdots \\ @。@ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ @ .0 @ .0 @ .0 @ .0 @ .0 @ .0 \ end {CD}

Somerandommathematician Dec 02 2020 at 23:58

この場合、あなたは上記の複合体のカテゴリに属します。 $\textit{projective resolution}$ 複合体の(この場合 $\bar{M}:\cdots\rightarrow 0\rightarrow M\rightarrow0\rightarrow\cdots$)は、上記の有界射影の複合体を意味します $P$ 擬同型で $P\rightarrow \bar{M}$。したがって、通常の射影解像度を取る場合$M$ モジュールとして、 $$\cdots\rightarrow P^{-n}\rightarrow P^{-n+1}\rightarrow\cdots\rightarrow P^{-1}\rightarrow P^{0}\rightarrow M\rightarrow0\rightarrow\cdots$$ の射影解像度を構築できます $\bar{M}$ 次のように $\require{AMScd}$ \ begin {CD} \ cdots @ >>> P ^ {-1} @ >>> P ^ {0} @ >>> 0 @ >>> \ cdots \\ @V {f ^ {-2}} VV @V {f ^ {-1}} VV @V {f ^ {0}} VV @V {f ^ {1}} VV @V {f ^ {1}} VV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> M @ >>> 0 @ >>> \ cdots \ end {CD}ここで矢印$f:\bar{P}\rightarrow \bar{M}$ 明らかに擬同型です。

ホモトピー圏 $K(\mathscr{A})$ (どこ $\mathscr{A}$ は、リング上のモジュールのカテゴリなどのアーベル圏です)これを一般化して話し合うことができます $K$-射影解像度、複合体 $X$$K(\mathscr{A})$ それを確認します $Hom(X,Z)=0\ ,\ \forall Z\in\mathscr{Z}=\lbrace Z\in K(\mathscr{A})\ \text{such that}\ H^{n}(Z)=0\ \forall \ n\in\ \mathbb{N} \rbrace $

良いことは $P$ は射影の複合体の上に有界であり、 $K$-射影。