共変および逆変の基底導関数

Question

それを示す方法

$\overrightarrow{\textbf{e}}_\sigma\cdot\partial_\mu \overrightarrow{\textbf{e}}_\nu = \overrightarrow{\textbf{e}}_\sigma\cdot\partial^\mu \overrightarrow{\textbf{e}^\nu}$

どこ $\overrightarrow{\textbf{e}}_\nu$ そして $\overrightarrow{\textbf{e}^\nu}$ いくつかの多様体の基底と双対基底ベクトルはありますか？

なにか提案を？

ありがとうございました！

Answer 1

この主張はどこで見つけましたか？最初の式${\bf e}_\sigma\cdot \partial_\mu{\bf e}_\nu$covaraintではありません。代わりに書いた場合${\bf e}_\sigma\cdot \nabla_\mu{\bf e}_\nu$ クリストッフェル記号は次のように定義されているため、これは理にかなっています。 $$ \nabla_\mu {\bf e}_\nu = {\bf e}_\tau {\Gamma^\tau}_{\nu\mu} $$ 与える

$$ {\bf e}_\sigma\cdot \nabla_\mu{\bf e}_\nu= g_{\sigma\alpha} {\Gamma^\alpha}_{\nu\mu} $$ と $\nabla^\mu = g^{\mu\alpha}\nabla_\alpha $ 共変微分の共ベクトルに対する作用は $\nabla_\alpha {\bf e}^\nu= - {\bf e}^{\tau}{\Gamma^\nu}_{\tau\mu}$ 我々が得る $$ {\bf e}_\sigma\cdot \nabla^\mu{\bf e}^\nu = {\bf e}_\sigma (- {\bf e}^{\tau}){\Gamma^\nu}_{\tau\beta}g^{\beta\mu}=-{ \Gamma^\nu}_{\sigma \beta}g^{\beta\mu}. $$ したがって、少なくともマイナス記号が異なります。

（編集を続けてすみません-ばかげたエラーを繰り返します）