距離である関数を見つける $1$ から $x^2$ その法線に沿って[重複]

Question

それで私は最近問題を考えました、それは私が多くの方法を解決しようとしましたが、できませんでした。説明するのはとても簡単です...

距離である関数を見つける $1$ 放物線から $y=x^2$その法線に沿って。私が言っていることの視覚的。

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これは私が試したことの1つです...

この関数は、対応する $x$ から見つけたい関数の値 $x$ 曲線上の値 $y=x^2$。逆は、対応する$x $ の値 $x^2$ 与えられた $x$ 決定するのが簡単になる値 $y$ 値。 $$ f(x)=x+\sin(\arctan(2x)) $$ これはこれに解決することができます... $$ f(x)=x+\frac{2x\sqrt{1+4x^2}}{1+4x^2} $$ ただし、この関数の逆関数を取得する方法がわかりません。

Answer 1

$(f-x)=2x/\sqrt{1+4x^2}$ そう $(f-x)^2(1+4x^2)=4x^2$ または、Wolfyによると、 $4 f^2 x^2 + f^2 - 8 f x^3 - 2 f x + 4 x^4 - 3 x^2 = 0$。

これは四次方程式です $x$ これは解決できますが、予想どおり非常に厄介です。

Answer 2

軌跡のパラメトリック方程式を見つけました

$$ \begin{cases} x=2 t^3-\frac{8 t^5}{4 t^2+1}-\frac{2 t^3}{4 t^2+1}+t +\frac{2 t}{\sqrt{4 t^2+1}}\\ y= \frac{4 t^4+t^2-\sqrt{4 t^2+1}}{4 t^2+1}\\ \end{cases} $$

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Answer 3

標準のパラメータ化からオフセットすることで変更できます。中古$ f=1, r= (-0.2,0,+0.2)$ プロット内（グラフを明確にするために、1.0の代わりにオフセット0.2を使用）。

f = 1; r = 0;
g1 = ParametricPlot[{2 f t, f t^2} + 
   r {-t/Sqrt[1 + t^2], 1/Sqrt[1 + t^2]}, {t, -1, 1}, 
  GridLines -> Automatic]
 r = 0.2;
g2 = ParametricPlot[{2 f t, f t^2} + 
   r {-t/Sqrt[1 + t^2], 1/Sqrt[1 + t^2]}, {t, -1, 1}, 
  PlotStyle -> {Thick, Blue}]
r = -0.2;
g3 = ParametricPlot[{2 f t, f t^2} + 
   r {-t/Sqrt[1 + t^2], 1/Sqrt[1 + t^2]}, {t, -1, 1}, 
  GridLines -> Automatic, PlotStyle -> {Thick, Red}]
Show[{g1, g2, g3}, PlotRange -> All]

法線に沿った距離とオフセットのある接線を追加または削除します $r$ $$ (x,y)= ( 2 f t,f t^2 ) ;\; t = \tan \phi $$

$$ x_1= x - r \sin \phi, y_1= y+ r \cos \phi $$