級数の合計を求めます。 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

Aug 17 2020

系列理論に問題があります。具体的な質問は次のとおりです。\ begin {equation} \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ {2n}} {(2n)!} \ end {equation}私の考えは次のとおりです。

以来 $e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{2^nn!}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{x^2}{2})^n}{n!}\\ &=e^{\frac{x^2}{2}} \end{align} しかし、答えはコッシュです $x$。主なアイデアは、のべき級数に基づいています$e^x$ そして $e^{–x}$。次に、それらを一緒に追加します。しかし、私はまだ私が間違ったことを理解していません。

誰か助けてくれませんか。ありがとうございました。

回答

3 J.W.Tanner Aug 17 2020 at 11:51

あなたが間違ったことは変化していました $(2n)!$$2^nn!$

あなたは正しかった $e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!}$

そう $\cosh x = \dfrac{e^x+e^{-x}}2=\dfrac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}+\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-x)^{n}}{n!}}2=\dfrac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}\left(1+(-1)^n\right) }2$

$\dfrac{1+(-1)^n}2$ です $0$ いつ $n$ 奇妙で $1$ いつ $n$ 偶数なので、これは $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{2n}}{(2n)!} . $

2 Alearner Aug 17 2020 at 11:59

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} $$ $$ =\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2 \cdot x^{2n}}{(2n)!} -\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ x^{2n+1}}{(2n+1)!} $$ $$ =\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n)!} + \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^{n}}{(n)!} $$ $$ = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} $$ $$= cosh(x) $$