負の二項分布MGF

Question

負の二項分布のウィキペディアのページには、そのモーメント母関数が次のようにリストされています。 $(\frac{1 - p}{1 - pe^t})^r$。

ただし、モーメント母関数ページには、負の二項分布のMGFが次のようにリストされています。 $(\frac{pe^t}{1 - e^t + pe^t})^r$。

Desmosは、これらが代数的に同等ではないことを明らかにしています。どちらが正しいのか、そしてなぜ格差があるのか​​？

Answer 1

次のような場合は十分です $r=1.$

• しましょう $X$ 最初の成功までの独立した試行の数であり、確率 $p$各試行での成功の。次に$X\in\{0,1,2,3,\ldots\}$ そして $\Pr(X=x) = (1-p)^x p.$ 次に、 $$ \begin{align} M_X(t) & = \operatorname E(e^{tX}) = \sum_{x=0}^\infty e^{tx} (1-p)^x p \\[8pt] & = \frac p {1 - (1-p)e^t} = \frac{1-q}{1-qe^t}. \end{align} $$

• さあ、 $X$ 確率で、1つの成功を得るために必要な独立した試行の数である $p$各試行での成功の。次に$X\in\{1,2,3,\ldots\}$ そして $\Pr(X=x) = (1-p)^{x-1} p.$ 次に、 $$ \begin{align} M_X(t) & = \operatorname E(e^{tX}) = \sum_{x=1}^\infty e^{tx} (1-p)^{x-1} p \\[8pt] & = \frac{pe^t}{1 - (1-p)e^t} = \frac{(1-q)e^t}{1 - qe^t}. \end{align} $$

したがって、セットでサポートされている「負の二項分布」を考慮すると、MGFページのものは正しいです。 $\{r,r+1,r+2,\ldots\},$ セットでサポートされているNB分布を考慮すると、NBページの1つが正しいです。 $\{0,1,2,3,\ldots\},$ との役割 $p$ そして $q$ 交換されます。

「負の二項分布」というタイトルのウィキペディアの記事には、次のように書かれていることに注意してください。

異なるテキスト（およびこの記事の異なる部分）は、負の二項分布に対してわずかに異なる定義を採用しています。それらは、サポートがで始まるかどうかによって区別できます$k = 0$ または $k = r,$ かどうか $p$ 成功または失敗の確率、およびかどうかを示します $r$ 成功または失敗を表すため、特定のテキストで使用されている特定のパラメーター化を識別することが重要です。