マルコフ連鎖限界値

Question

次のマルコフ連鎖があるとします。 $X_0 > 0$ は固定定数であり、 $1 \leq n \in \mathbb{N}$ 我々は持っています $$X_n = \begin{cases} 1.5X_{n-1} & \text{with probability } 0.5 \\ rX_{n-1} & \text{with probability } 0.5 \end{cases} $$

の最小値を見つけたい $r$ の限界値が $X_n$ 以上 $X_0$、元の金額。これをマーチンゲールにするだけで十分だと思いました（つまり、設定$r = 0.5$）しかし、シミュレーションを実行すると、制限値は毎回ゼロになるため、明らかにこれは間違っています。

価値を探しています $r$ 制限が正確に $X_0$なぜなら（私はそれを推測している）それより大きいものはほぼ確実に無限限界につながるからです。しかし、この問題は私には意味がありません。できれば助けてください。

Answer 1

一般化されたモデルについて実際に多くのことが言えます $$X_n=rX_{n-1}:\text{probability }=p$$ $$X_n=\frac{3}{2}X_{n-1}:\text{probability }=1-p$$しましょう $K_{n}\sim\ \text{Binomial}(n,p)$ そして、置きます $X_{n}:=r^{K_n}\Big(\frac{3}{2}\Big)^{n-K_n}x_{0}$。直感的に考えるかもしれません$K_n$ 連続する項に乗算した回数を数えるように $r$このランダムなプロセスで。場合$r>1$ 明らかなので、それを仮定しましょう $r\in (0,1]$。いつ$n$ が大きい場合、二項分布の正規近似を使用して、固定値を推定できます。 $a>0$ それ $$P(X_n > a)=P\Bigg(K_n < \frac{\ln(a/x_0)+n\ln(2/3)}{\ln(2r/3)}\Bigg)\approx \phi\Bigg(\frac{\ln(a/x_0)}{\sqrt{np(1-p)}\ln(2r/3)}+\sqrt{n}\cdot \frac{\ln(2/3)-p\ln(2r/3)}{\sqrt{p(1-p)}\ln(2r/3)}\Bigg)$$ どこ $\phi(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}dt$。私たちは見る$$\lim_{n\rightarrow \infty}P(X_n>a)=1 \iff \frac{\ln(2/3)-p\ln(2r/3)}{\sqrt{p(1-p)}\ln(2r/3)}>0 \iff r>\Big(\frac{2}{3}\Big)^{\frac{1-p}{p}} $$ $$\lim_{n\rightarrow \infty}P(X_n<a)=1 \iff \frac{\ln(2/3)-p\ln(2r/3)}{\sqrt{p(1-p)}\ln(2r/3)}<0 \iff r<\Big(\frac{2}{3}\Big)^{\frac{1-p}{p}}$$ 明らかに $r=\Big(\frac{2}{3}\Big)^{\frac{1-p}{p}}$このグラフに示されているしきい値です。取る$p=1/2$ 収量 $r=2/3$ 要求に応じ。

Answer 2

話の教訓は、あなたのプロセスが収束しないということのようです。説明は次のとおりです。

私たちはあなたが書いたようにプロセスを考慮します $r = 2/3$。

しましょう $P_i$ である確率変数である $2/3$ 確率で $1/2$、および $3/2$ 確率で $1/2$。確率変数に興味があります$Z_n = \prod_{i = 1}^n P_i$、そして私たちはどのように得ることができるかを理解したい $Z_n \to 1$ （ある意味で）以来 $X_n = Z_n X_0$ あなたの記法で。

検討する $\log(Z_n) = \sum_{i = 1}^n \log(P_i)$。その後、それぞれ$\log(P_i) = \pm ( \log(3) - \log(2))$。したがって、で割って再スケーリングした後$\log(3) - \log(2)$、次のプロセスを分析できます。

$Y_i = \pm 1$、確率で $1/2$ それぞれ、そして私たちは理解したい $S_n = \sum_{i = 0}^n Y_i$。

上手、 $S_n$ は古典的なランダムウォークであり、再スケーリングしない限り、分布においても収束しません。

だからもし $X_n$ 確率またはほぼ確実に収束し、その後 $S_n = \frac{1}{\log(3) - \log(2)} \log( X_n)$また、適用している関数は連続であるため、この定理が適用されます。いずれにせよ、単純なランダムウォークが無限に繰り返されるため$\mathbb{Z}$、 $X_n$ 可能なすべての値を無限に何度も引き受けます。

この観点は、理由も説明しています $2/3$ はバランス係数です。その他の係数で、単純なランダムウォーク側で無限大または負の無限大に向かってドリフトします。