見つける $E[X\mid Y]$ そして $\operatorname{Var}(X\mid Y)$ 与えられた平均と分散 $X$ そして $Y$
2つの正規分布があるとします。 $X$ そして $Y$ 平均で $u_1$ そして $u_2$ と分散 $\sigma_1^2$ そして $\sigma_2^2$; 見つける$E[X\mid Y]$ そして $\operatorname{Var}(X\mid Y)$。
知っている $$E[X\mid Y] = \mu_1 + \rho\sigma_1 \frac{Y - u_2}{\sigma_2} $$ そして $$\operatorname{Var}[X\mid Y] = \sigma_1 (1 - \rho^2)$$ しかし、私はそれを証明することはできません。
ために $E[X\mid Y]$ 私は $$E[X\mid Y] = \int_{-\infty}^{+\infty} x f_{X|Y}(x\mid y)\ dx$$ しかし、それは計算のために機能しません $f_{X\mid Y}(x\mid y)$ 私は欲しい $f_{X,Y}(x,y)$私はそれを持っていません。誰か助けてもらえますか？
回答
密度アプローチが機能します。最も単純なケースでは、$X$ そして $Y$それぞれが標準正規分布であり、相関関係があります$\rho$、そのため、の同時密度$(X,Y)$ です $$ f(x,y)=\frac1{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\exp \left[-\frac1{2(1-\rho^2)}(x^2-2\rho xy+y^2)\right] $$ 一方、の周辺密度 $Y$ です $$f(y)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\left(\frac{y^2}2\right)\right]. $$ 条件付き密度 $\displaystyle f(x\mid y)=\frac{f(x,y)}{f(y)}$これらの比率です。だから条件付き$Y=y$、の密度 $X$ です $$\begin{align} f(x\mid y)&=\frac1{\sqrt{2\pi(1-\rho^2)}}\exp\left[-\frac1{2(1-\rho^2)}(x^2-2\rho xy+y^2-(1-\rho^2)y^2)\right]\\ &= \frac1{\sqrt{2\pi(1-\rho^2)}}\exp\left[-\frac1{2(1-\rho^2)}(x-\rho y)^2\right]\end{align} $$ これは、平均を持つ正規確率変数の密度として認識されます。 $\rho y$ と分散 $1-\rho^2$。その結果$$ E(X\mid Y=y) = \rho y\qquad{\rm and}\qquad \operatorname{Var}(X\mid Y=y)=1-\rho^2.$$
一般的な場合は、 $\displaystyle X':=\frac{X-\mu_1}{\sigma_1}$ そして $\displaystyle Y':=\frac{Y-\mu_2}{\sigma_2}$。前のケースをに適用します$X'$ そして $Y'$、および結論 $$\begin{aligned} E\left (X\mid Y=y\right)&=E\left(\mu_1+\sigma_1 X'\biggm| Y'=\frac{y-\mu_2}{\sigma_2}\right)=\mu_1+\sigma_1 E\left(X'\biggm| Y'=\frac{y-\mu_2}{\sigma_2}\right)\\ &=\mu_1+\sigma_1\rho\left(\frac{y-\mu_2}{\sigma_2}\right) =\mu_1+\rho\frac{\sigma_1}{\sigma_2}(y-\mu_2) \end{aligned} $$ そして $$\begin{aligned} \operatorname{Var}(X\mid Y=y)&=\operatorname{Var}\left(\mu_1+\sigma_1 X'\biggm| Y'=\frac{y-\mu_2}{\sigma_2}\right) =\sigma_1^2\operatorname{Var}\left( X'\biggm| Y'=\frac{y-\mu_2}{\sigma_2}\right)\\ &=\sigma_1^2(1-\rho^2).\end{aligned} $$
当然のことと思いましょう $$\frac{X-\mu_1}{\sigma_1} = \rho \frac{Y-\mu_2}{\sigma_2} + \sqrt{1-\rho^2} Z \tag{$*$}$$ どこ $Z \sim N(0,1)$ は独立しています $Y$。説明については、私の答えの終わりを参照してください。
次に \begin{align} E[X \mid Y] &= \mu_1 + \sigma_1 E[(X-\mu_1)/\sigma_1 \mid Y] \\ &= \mu_1 + \sigma_1 \left( E[\rho (Y-\mu_2)/\sigma_2 \mid Y] + E[\sqrt{1-\rho^2} Z \mid Y] \right) \\ &= \mu_1 + \sigma_1 (\rho(Y - \mu_2) / \sigma_2) + \sqrt{1-\rho^2} E[Z] \\ &= \mu_1 + \rho \frac{\sigma_1}{\sigma_2} (Y-\mu_2). \end{align} Ottavio Bartenorは、元の式のタイプミスを修正したことに注意してください。 $E[X\mid Y]$。
同様に、 \begin{align} \text{Var}(X \mid Y) &= \sigma_1^2 \text{Var}((X-\mu_1)/\sigma_1 \mid Y) \\ &= \sigma_1^2 \text{Var}(\rho(Y-\mu_2)/\sigma_2 + \sqrt{1-\rho^2} Z \mid Y) \\ &= \sigma_1^2 \text{Var}(\sqrt{1-\rho^2} Z \mid Y) \\ &= \sigma_1^2 (1-\rho^2) \text{Var}(Z) \\ &= \sigma_1^2(1-\rho^2). \end{align} 投稿の表現にタイプミスがあることに注意してください。
仮定します $Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$ そして $Z \sim N(0,1)$独立しています。しましょう$X$ 上記の等式を満たす（$*$）。主張はそれです$(X,Y)$ パラメータを使用して2変量正規分布に従います $\mu_1, \sigma_1, \mu_2 ,\sigma_2, \rho$。
あなたはそれをチェックすることができます $X$ 意味がある $\mu_1$ と分散 $\sigma_1^2$。また、間の相関関係を確認することができます$X$ そして $Y$ です $\rho$。の周辺分布を確認することもできます$X$は、独立した正規確率変数の線形結合であるため、正規分布です。最後に、それを正当化するために$(X,Y)$は共同（二変量）正規分布であるため、の線形結合に注意することで、共同正規分布の同等の特性評価にアピールできます。$X$ そして $Y$ 独立した正規確率変数の線形結合として記述できるため、正規分布です。 $Y$ そして $Z$