二重積分方程式の読み方は？

Question

私が理解していることから、ダブルインテグレーターは、あるエンティティがそのエンティティに加えられる加速力に依存するある速度に従って移動できるモデルです。

誰かが私にそのようなモデルを表すように頼んだら、 $x$ エンティティの位置、 $v$ その速度、および $a$ その加速、私はそれを簡単に書き留めます：

$$ \dot{x} = v $$ $$ \ddot{x} = a $$

しかし、これらはウィキペディアのページで与えられているものと同じ関係ではないようです（参照 https://en.wikipedia.org/wiki/Double_integrator）。多分私は表記法に問題があります。単一次元で二重積分システムを表すことを意味する次の方程式は、正確にはどういう意味ですか？

$$ \ddot{q} = u(t) $$ $$ y = q(t) $$

$u$ は制御入力として記述されます。これは加速度であると私は想定しています。 $q$エンティティの位置はどれですか？だから、何ですか$y$？等しいようです$q$、それで、ここでのその使用は何ですか？

Answer 1

ウィキペディアの記事は、表記法と形式に一貫性がありません。

また、この記事には自由度間の制約方程式が含まれているため、表記がさらに複雑になります。1DOFの問題についてはそのような考慮事項はありません。

だからあなたの例を見てください $n=1$ DOFと次の量を考慮してください

• 一般化座標はのベクトルです $n$ 値

  $$\boldsymbol{q} = \pmatrix{x} \tag{1}$$

• 微分方程式は、次のシステムとして自由度の観点から与えられます。 $n$ 方程式

  $$ \ddot{\boldsymbol{q}} = \boldsymbol{\rm f}(t, \boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}) \tag{2}$$

  $$ \ddot{x} = {\rm f}(t,x,\dot{x}) $$

• ODEとして、上記は2次であり、解決するために2つの変数の積分（二重積分器）として設定されます。2つの1次常微分方程式のシステムとして、上記は次のように表されます。$2n$ 方程式。

  $$ \tfrac{\rm d}{{\rm d}t} \pmatrix{ \boldsymbol{q} \\ \boldsymbol{\dot{q}} } = \pmatrix{ \boldsymbol{\dot q} \\ \boldsymbol{\rm f}(t,\boldsymbol{q},\boldsymbol{\dot{q}}) } \tag{3}$$ $$ \tfrac{\rm d}{{\rm d}t} \pmatrix{x \\ v} = \pmatrix{v \\ {\rm f}(t,x,v)} $$

• 状態ベクトルを使用してより正式に $\boldsymbol{x} = \pmatrix{ \boldsymbol{q} \\ \boldsymbol{\dot q}}$上記の連立方程式は、記事が示すべきものである、より標準的な形式になります。

  $$ \tfrac{\rm d}{{\rm d}t} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\rm u}(t, \boldsymbol{x}) \tag{4}$$

  $$ \begin{aligned} \dot{x} & = v \\ \dot{v} & = {\rm f}(t,x,v) \end{aligned}$$

  _{状態ベクトルは、物理学の観点からは実際のベクトルではなく、数学的な構成概念であることに注意してください。}

• システムは、さまざまな自由度とその導関数を結び付ける制約を記述することもできます。

  $$ \boldsymbol{y} = \boldsymbol{\rm g}(t, \boldsymbol{x}) \tag{5} $$

  しかし、これはあなたの場合には当てはまりません。

• 上記のすべては、DAEシステムとして線形代数で表現すると少し形式的になります（微分代数方程式と代数方程式）

  $$ \tfrac{\rm d}{{\rm d}t} \boldsymbol{x} = \mathbf{A} \boldsymbol{x} + \boldsymbol{b} \tag{6} $$ $$ \boldsymbol{0} = \mathbf{G} \boldsymbol{x} + \boldsymbol{c} \tag{7} $$