二項Nパラメータの推論における事前分布の変換

Dec 14 2020

Andrew Gelmanによるベイジアンデータ分析の第3章(80ページ)の演習の質問6で苦労しています。

http://www.stat.columbia.edu/~gelman/book/BDA3.pdf

データYは、独立した二項データとしてモデル化されています。 $N$ そして $θ$ Rafteryの1988年の論文「二項Nパラメータの推論:階層ベイズアプローチ」によると、不明です。

$Y∼Bin(N,θ)$ そして

$N∼Poisson(μ)$、 どこ $λ=μθ$

(非情報)事前分布 $λ,θ$ です $p(λ,θ) \propto λ^{-1}$

質問6(a)は、決定するために変換するように求めています$p(N,θ)$

次の質問に似ていますが、それを使って答えを得ることができませんでした。

ベイジアンアプローチ:Nと $\theta$ 二項分布からの値

回答

1 Pohoua Dec 14 2020 at 17:21

これが私が得たものです(私はそれについてよくわかりません)。その演習では、$N$ランダムな期待値でポアソン分布に従うことになっています$\mu$。の(不適切な)同時分布$\mu, \theta$ 変換で定義されます $(\lambda = \mu \theta, \theta)$ 沿って $$p(\mu, \lambda) \propto 1/\lambda .$$ の同時分布を得るために $(\mu, \theta)$ あなたはその事実を使用する必要があります $$p(\mu, \theta) = p(\lambda, \theta) \mid\det\frac{\partial(\lambda, \theta)}{\partial(\mu, \theta)}\mid$$

ここに、 $\mid\det\frac{\partial(\lambda, \theta)}{\partial(\mu, \theta)}\mid = \theta$ そのようなの不適切な配布 $(\mu, \theta)$ です $p(\mu, \theta) \propto 1 / \mu$ したがって、事前は: $$\begin{array}{lcl} p(\mu) &\propto & 1 / \mu\\ N & \sim & \mathcal{P}(\mu) \\ \theta & \sim & \mathcal{U}([0, 1]) \end{array}$$