に関する質問 $SK_1$ リングの

Question

しましょう $B$ 団結して可換環になり、 $B/nil(B):=B_{red}$、 どこ $nil(B)$ 環の冪 $B$。です$SK_1(B)=SK_1(B_{red}) ?$ 特に、それは本当ですか $B$ 代数的閉体上のアフィン代数は何ですか？

Answer 1

はい。のカーネル内の要素$SK_1(B)\rightarrow SK_1(B_{red})$ 行列で表されます $M\in GL_n(B)$ いくつかのための $n$。書く$\overline{M}$ の削減のために $M$ モッド $nil(B)$。次に$\overline{M}$ は基本行列の積であり、そのすべてが基本行列に持ち上がります。 $B$。調整$M$ したがって、次のように仮定できます。 $\overline{M}$ アイデンティティです。

したがって、の対角線上の要素は $M$ 全てです $1$ モッド $nil(B)$、したがって、のすべてのユニット $B$。これにより、基本操作を使用して変換できます$M$ 対角行列に変換します。したがって、これは（ホワイトヘッドの補題により）のゼロ元を表します。 $SK_1(B)$。

（同じ引数が機能する場合 $B_{red}$ に置き換えられます $B/I$、 どこ $I$ ジャコブソン根に含まれる理想です。）