のデカルト座標の変更の標準方程式は何ですか $\mathbb{R}^2$？

Question

私はブースビーの可微分多様体入門の最初のセクションに取り組んでおり、演習の1つは次のようになっています。

デカルト座標の変更に標準方程式を使用して、次のことを確認します。 $\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1m_2}$、 どこ $m_1, m_2$ は2本の線の傾きであり、座標の選択とは無関係です。

これは、その値が2つの線の間の角度の接線にすぎないことを証明することによっても実行できると述べられていますが、この方法で演習を完了することを意図したものではないと思います。

デカルト座標を変更するための標準的な方程式に精通していません。の座標が変わったようです$\mathbb{R}^2$ これはよくわかりませんが、アフィン変換になります。

私の質問は、デカルト座標の変更の標準的な方程式は何ですか？

Answer 1

勾配は平行移動の下では不変であるため、一般性を失うことなく、デカルト座標の2つのシステムが同じ原点を持ち、各線がその共通の原点を通過すると仮定できます。座標からの変換$x,\,y$ コーディネートする $X,\,Y$ 満たす$$X=x\cos\theta-y\sin\theta,\,Y=x\sin\theta+y\cos\theta$$いくつかのための $\theta\in\Bbb R$。場合$y=mx$ そして $Y=nX$、$$0=x\sin\theta+mx\cos\theta-nx\cos\theta+nmx\sin\theta\implies n=\frac{m+\tan\theta}{1-m\tan\theta}.$$最終的に、$$\frac{\frac{m_2+\tan\theta}{1-m_2\tan\theta}-\frac{m_1+\tan\theta}{1-m_1\tan\theta}}{1+\frac{m_1+\tan\theta}{1-m_1\tan\theta}\frac{m_2+\tan\theta}{1-m_2\tan\theta}}=\frac{\left(m_{2}-m_{1}\right)\left(1+\tan^{2}\theta\right)}{\left(1+m_{1}m_{2}\right)\left(1+\tan^{2}\theta\right)}=\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}m_{2}}.$$最後に、デカルト座標の変更を使用するというブースビーの要求は、必要以上に多くの作業を行うだけでなく、最終結果を事故のように見せることに注意する価値があります。そうではない。書き込み$m_1=\tan\theta_1$ 等。、 $\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}=\tan(\theta_2-\theta_1)$、したがって、結果は平面内の角度の回転不変性から得られます。

Answer 2

2つのデカルト座標系がある場合、 $Oxy$ そして $\Omega\xi\eta$、そしてそれらを関連付ける方程式は $$ \begin{pmatrix}\xi \\ \eta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\xi(O) \\ \eta(O) \end{pmatrix}, $$ どこ

1. マトリックス $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ 可逆で
2. $\xi(O)$ そして $\eta(O)$ の座標は $O$ 2番目の座標系で。